Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, E là trung điểm AB, P đối xứng với M qua C. Tìm x, y thoả mãn: vecto EP = x. vecto AB + y. vecto AC

Để tìm các giá trị \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình
\[
\vec{EP} = x \cdot \vec{AB} + y \cdot \vec{AC},
\]
ta sẽ tiến hành các bước sau:

### 1. Thiết lập các điểm:
Giả sử các điểm \(A\), \(B\) và \(C\) có tọa độ lần lượt là:
- \(A = (x_A, y_A)\)
- \(B = (x_B, y_B)\)
- \(C = (x_C, y_C)\)

### 2. Tìm tọa độ các điểm trung điểm:
- \(M\) là trung điểm của \(BC\):
\[
M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right)
\]
- \(E\) là trung điểm của \(AB\):
\[
E = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)
\]

### 3. Tính tọa độ điểm \(P\):
Điểm \(P\) đối xứng với \(M\) qua \(C\) có thể được tính như sau:
\[
P = C + (C - M) = C + \left(2C - M\right) = 2C - M
\]
Tọa độ điểm \(P\) sẽ là:
\[
P = 2(x_C, y_C) - \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(2x_C - \frac{x_B + x_C}{2}, 2y_C - \frac{y_B + y_C}{2}\right)
\]
\[
= \left(\frac{4x_C - x_B - x_C}{2}, \frac{4y_C - y_B - y_C}{2}\right) = \left(\frac{3x_C - x_B}{2}, \frac{3y_C - y_B}{2}\right)
\]

### 4. Tính \(EP\):
Bây giờ, ta cần tính vecto \(EP\):
\[
\vec{EP} = P - E = \left(\frac{3x_C - x_B}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{3y_C - y_B}{2} - \frac{y_A + y_B}{2}\right)
\]
\[
= \left(\frac{3x_C - x_B - x_A - x_B}{2}, \frac{3y_C - y_B - y_A - y_B}{2}\right) = \left(\frac{3x_C - x_A - 2x_B}{2}, \frac{3y_C - y_A - 2y_B}{2}\right)
\]

### 5. Xác định \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):
- \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
- \(\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)\)

### 6. Viết \(\vec{EP}\) dưới dạng tổ hợp tuyến tính:
Bây giờ để viết \(\vec{EP}\) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\), ta có:
\[
\vec{EP} = x \cdot \vec{AB} + y \cdot \vec{AC}
\]

### 7. Tìm hệ phương trình:
Ta có các hệ số từ \(\vec{EP}\):
- \(x = k\) (một hằng số cần tìm)
- \(y = m\) (một hằng số cần tìm)

### 8. Đặt hệ phương trình:
Kết hợp các tọa độ, rút ra một hệ phương trình để tìm ra các giá trị \(x\) và \(y\).

### 9. Kết luận:
Cuối cùng, để giải quyết, bạn cần thêm một biến để tìm được \(x\) và \(y\) cho cụ thể từng trường hợp của tam giác \(ABC\). Bạn sẽ nhận được giá trị của \(x\) và \(y\) thông qua phương pháp giải hệ phương trình. Kết quả cuối cùng sẽ là kết quả cần tìm.

Lưu ý: Trong quá trình giải, việc tính toán tọa độ cần chắc chắn và có thể phải hoàn tất với các bước cụ thể hơn dựa vào giá trị thực tế của các điểm \(A, B, C\) trong không gian.