Để giải các bất phương trình này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) \( x^2 - 3x + 1 > 2(x - 1) - x(3 - x) \)

1. **Giải bất phương trình**:
- Bắt đầu từ vế phải:
\[
2(x - 1) - x(3 - x) = 2x - 2 - 3x + x^2 = x^2 - x - 2
\]
- Thay vào bất phương trình:
\[
x^2 - 3x + 1 > x^2 - x - 2
\]
- Rút gọn:
\[
-3x + 1 > -x - 2 \implies -3x + x > -2 - 1 \implies -2x > -3 \implies 2x < 3 \implies x < \frac{3}{2}
\]

### b) \( (x - 1)^2 + x^2 \leq (x + 1)^2 + (x + 2)^2 \)

1. **Giải bất phương trình**:
- Bắt đầu từ vế trái:
\[
(x - 1)^2 + x^2 = (x^2 - 2x + 1) + x^2 = 2x^2 - 2x + 1
\]
- Và vế phải:
\[
(x + 1)^2 + (x + 2)^2 = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 6x + 5
\]
- Thay vào bất phương trình:
\[
2x^2 - 2x + 1 \leq 2x^2 + 6x + 5
\]
- Rút gọn:
\[
-2x + 1 \leq 6x + 5 \implies -2x - 6x \leq 5 - 1 \implies -8x \leq 4 \implies x \geq -\frac{1}{2}
\]

### c) \( (x^2 + 1)(x - 6) \leq (x - 2)^3 \)

1. **Giải bất phương trình**:
- Phát triển vế phải:
\[
(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
\]
- Phát triển vế trái:
\[
(x^2 + 1)(x - 6) = x^3 - 6x^2 + x - 6
\]
- Đặt vào bất phương trình:
\[
x^3 - 6x^2 + x - 6 \leq x^3 - 6x^2 + 12x - 8
\]
- Rút gọn:
\[
x - 6 \leq 12x - 8 \implies -11x \leq -2 \implies 11x \geq 2 \implies x \geq \frac{2}{11}
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a) \( x < \frac{3}{2} \)
- b) \( x \geq -\frac{1}{2} \)
- c) \( x \geq \frac{2}{11} \)

Hy vọng những giải thích này sẽ giúp ích cho bạn!