Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{\cos 4x + \cos 2x}{2\cos 2x - 1} \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác.

Trước tiên, ta có công thức liên quan đến hàm cos:
\[
\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1
\]

Bây giờ, thay thế \(\cos 4x\) trong biểu thức \(P\):
\[
P = \frac{(2\cos^2 2x - 1) + \cos 2x}{2\cos 2x - 1}
\]

Gom lại, ta được:
\[
P = \frac{2\cos^2 2x + \cos 2x - 1}{2\cos 2x - 1}
\]

Bây giờ, để dễ dàng hơn, đặt \(y = \cos 2x\). Khi đó biểu thức trở thành:
\[
P = \frac{2y^2 + y - 1}{2y - 1}
\]

Tiếp theo, phân tích tử số:
\[
2y^2 + y - 1 = (2y - 1)(y + 1)
\]

Vậy ta có:
\[
P = \frac{(2y - 1)(y + 1)}{2y - 1}
\]

Khi \(2y - 1 \neq 0\), ta có thể rút gọn:
\[
P = y + 1 = \cos 2x + 1
\]

Vậy biểu thức \(P\) rút gọn thành:
\[
P = \cos 2x + 1 \quad (2\cos 2x - 1 \neq 0)
\]

Nếu \(2\cos 2x - 1 = 0\), tức là \(\cos 2x = \frac{1}{2}\), ta cần kiểm tra trường hợp này để xem giá trị của P. Tuy nhiên, trong trường hợp thông thường, biểu thức đã được rút gọn như trên.

Kết quả cuối cùng là:
\[
P = \cos 2x + 1 \quad (2\cos 2x - 1 \neq 0)
\]