Để tính độ dài cạnh \( b \) trong tam giác \( ABC \), chúng ta có thể sử dụng định lý cosine:

\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B
\]

Theo đề bài, chúng ta có:

- \( a = 5 \)
- \( c = 6 \)
- \( \cos B = \frac{4}{5} \)

Thay các giá trị vào công thức:

\[
b^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{4}{5}
\]

Tính từng phần:

\[
b^2 = 25 + 36 - 2 \cdot 6 \cdot 4
\]
\[
b^2 = 25 + 36 - 48
\]
\[
b^2 = 61 - 48 = 13
\]
\[
b = \sqrt{13}
\]

Vậy độ dài cạnh \( b \) là \( \sqrt{13} \).

**Đáp án đúng là: \( A. \sqrt{13} \)**.