Để chứng minh \( B = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{100} \) chia hết cho 40, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( B \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 3^1 \) và công bội là \( 3 \). Số hạng cuối là \( 3^{100} \). Tổng của cấp số nhân có công thức như sau:

\[
B = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu
- \( r \) là công bội
- \( n \) là số hạng

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:
- \( a = 3 \)
- \( r = 3 \)
- \( n = 100 \)

suy ra:

\[
B = 3 \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{100} - 1}{2} = \frac{3^{101} - 3}{2}
\]

Bây giờ, để chứng minh rằng \( B \) chia hết cho 40, chúng ta cần chứng minh rằng \( 3^{101} - 3 \) chia hết cho 80 (bởi vì \( B = \frac{3^{101} - 3}{2} \)).

### Xét \( 3^{101} - 3 \) mod 80

Chúng ta sẽ sử dụng Định lý Fermat và chu kỳ lặp của \( 3^n \mod 80 \):

1. **Tính \( 3^{101} \mod 16 \) và \( 3^{101} \mod 5 \)**:

- Đầu tiên, xét \( 3^{101} \mod 16 \):
- \( 3^2 \equiv 9 \mod 16 \)
- \( 3^4 \equiv 1 \mod 16 \)
- \( 3^{101} = 3^{4 \cdot 25 + 1} \equiv (3^4)^{25} \cdot 3^1 \equiv 1^{25} \cdot 3 \equiv 3 \mod 16 \)

- Tiếp theo, xét \( 3^{101} \mod 5 \):
- Theo định lý Fermat, \( 3^4 \equiv 1 \mod 5 \), do đó:
- \( 3^{101} = 3^{4 \cdot 25 + 1} \equiv (3^4)^{25} \cdot 3^1 \equiv 1^{25} \cdot 3 \equiv 3 \mod 5 \)

2. **Sử dụng định lý Trung bình**:
- Ta đã có kết quả:
- \( 3^{101} \equiv 3 \mod 16 \)
- \( 3^{101} \equiv 3 \mod 5 \)

- Tìm nghiệm chung của hai đồng dư này bằng cách sử dụng định lý Hệ quả Trung bình:
- Từ \( 3^{101} \equiv 3 \mod 16 \) và \( 3^{101} \equiv 3 \mod 5 \), ta có
- \( 3^{101} \equiv 3 \mod 80 \)

3. **Kết luận**:
- Vậy \( 3^{101} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 80 \),
điều đó có nghĩa là \( 3^{101} - 3 \) chia hết cho 80.

### Kết quả

Vì \( 3^{101} - 3 \) chia hết cho 80, nên \( B = \frac{3^{101} - 3}{2} \) chia hết cho \( 40 \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( B \equiv 0 \mod 40 \), hay \( B \) chia hết cho 40.