Để giải các bài toán về tam giác trong đề bài bạn đưa ra, ta sẽ làm theo từng phần một.

### 4.1. Giải tam giác vuông ABC, biết ∠A = 90°:
a) \( a = 15 \, \text{cm}, b = 10 \, \text{cm} \):
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
c^2 = a^2 + b^2 \implies c = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18.03 \, \text{cm}
\]

b) \( b = 12 \, \text{cm}, c = 7 \, \text{cm} \):
- Tính cạnh \( a \):
\[
a^2 = c^2 - b^2 \implies a = \sqrt{7^2 - 12^2} = \sqrt{49 - 144}
\]
Kết quả này không hợp lệ vì không thể lấy căn bậc hai của số âm. Vui lòng kiểm tra lại thông tin.

### 4.2. Tam giác ABC có \( B = 60^\circ, C = 50^\circ \) và \( AC = 35 \, \text{cm} \):
- Tính \( A \):
\[
A = 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ = 70^\circ
\]
- Sử dụng định lý sin để tính các cạnh còn lại:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
- Tính \( a \):
\[
a = AC \cdot \frac{\sin A}{\sin C} = 35 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ}
\]
- Tính \( b \):
\[
b = AC \cdot \frac{\sin B}{\sin C} = 35 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 50^\circ}
\]

- Diện tích \( S \) của tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot b \cdot \sin A
\]

### 4.3. Tứ giác ABCD với \( A = 90^\circ, C = 40^\circ \) và \( AB = 4 \, \text{cm}, AD = 3 \, \text{cm} \):
- Để tính diện tích tứ giác, ta có thể chia nó thành 2 tam giác:
- Tính diện tích tam giác \( ABD \):
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \, \text{cm}^2
\]

- Tính diện tích tam giác \( BCD \) sử dụng công thức tương tự.

Sau khi tính toán, bạn có thể tổng hợp diện tích để có diện tích của tứ giác \( ABCD \).