Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
3(x + 1) - \frac{2}{y} - 2 = 4 \\
2(x + 2) + \frac{1}{y} - 2 = 5
\end{cases}
\]

Đầu tiên, chúng ta sẽ biến đổi từng phương trình.

**Phương trình thứ nhất:**

\[
3(x + 1) - \frac{2}{y} - 2 = 4
\]

Cộng 2 vào cả hai vế:

\[
3(x + 1) - \frac{2}{y} = 6
\]

Rút gọn:

\[
3x + 3 - \frac{2}{y} = 6 \Rightarrow 3x - \frac{2}{y} = 3
\]

Sắp xếp lại:

\[
3x - 3 = \frac{2}{y} \quad \leftrightarrow \quad \frac{2}{y} = 3x - 3
\]

Nhân cả hai vế với \(y\):

\[
2 = y(3x - 3) \Rightarrow y = \frac{2}{3x - 3} \quad (1)
\]

**Phương trình thứ hai:**

\[
2(x + 2) + \frac{1}{y} - 2 = 5
\]

Cộng 2 vào cả hai vế:

\[
2(x + 2) + \frac{1}{y} = 7
\]

Rút gọn:

\[
2x + 4 + \frac{1}{y} = 7 \Rightarrow 2x + \frac{1}{y} = 3
\]

Sắp xếp lại:

\[
\frac{1}{y} = 3 - 2x
\]

Nhân cả hai vế với \(y\):

\[
1 = y(3 - 2x) \Rightarrow y = \frac{1}{3 - 2x} \quad (2)
\]

Bây giờ, chúng ta có hai biểu thức cho \(y\):

Từ (1):

\[
y = \frac{2}{3x - 3}
\]

Từ (2):

\[
y = \frac{1}{3 - 2x}
\]

Ta sẽ đặt hai biểu thức này bằng nhau:

\[
\frac{2}{3x - 3} = \frac{1}{3 - 2x}
\]

Cross-multiply:

\[
2(3 - 2x) = 1(3x - 3)
\]

Phân tích:

\[
6 - 4x = 3x - 3
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
6 + 3 = 3x + 4x \Rightarrow 9 = 7x
\]

Giải cho \(x\):

\[
x = \frac{9}{7}
\]

Thay vào (1) hoặc (2) để tìm \(y\). Ta dùng (1):

\[
y = \frac{2}{3\left(\frac{9}{7}\right) - 3} = \frac{2}{\frac{27}{7} - 3} = \frac{2}{\frac{27}{7} - \frac{21}{7}} = \frac{2}{\frac{6}{7}} = \frac{2 \cdot 7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\boxed{\left( \frac{9}{7}, \frac{7}{3} \right)}
\]