Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính lợi nhuận tối ưu từ việc xác định giá vé vào cửa. Ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để xây dựng một hàm lợi nhuận.

1. **Giá vé**: \( P = 20 + x \) USD, với \( x \) là số USD gia tăng.
2. **Số lượng khách**: Khi giá vé tăng thêm 1 USD, số lượng khách giảm đi 100 người. Do đó số lượng khách là:
\[
Q = 1000 - 100x
\]
3. **Lợi nhuận**: Lợi nhuận (\( R \)) được tính như sau:
\[
R = (P) \times (Q) = (20 + x)(1000 - 100x)
\]

Tính toán lợi nhuận:
\[
R = (20 + x)(1000 - 100x) = 20000 + 1000x - 2000x - 100x^2
\]
\[
R = 20000 - 1000x - 100x^2
\]

4. **Tối ưu hóa lợi nhuận**: Đây là một hàm bậc hai với hệ số âm, do đó nó có cực đại. Để tìm giá trị \( x \) tại điểm cực đại, ta sẽ đạo hàm và tìm nghiệm:
\[
\frac{dR}{dx} = -100 - 200x = 0
\]
Giải phương trình trên:
\[
200x = -100 \implies x = -0.5
\]

Tuy nhiên, điều này cho thấy rằng không nên tăng giá vé mà nên giảm giá 0.5 USD.

5. **Tính toán giá và số lượng khách tối ưu**:
- Nếu \( x = -0.5 \):
- Giá vé: \( P = 20 - 0.5 = 19.5 \) USD
- Số lượng khách:
\[
Q = 1000 - 100(-0.5) = 1000 + 50 = 1050
\]
6. **Tính lại lợi nhuận tối ưu**:
\[
R = 19.5 \times 1050 = 20475 \text{ USD}
\]

Vậy, giám đốc nhà hát nên điều chỉnh giá vé xuống còn 19.5 USD để thu được lợi nhuận tối ưu là 20475 USD.