Cho hai số thực dương \( a, b \) thỏa mãn \( a^3 + b^3 = 3ab - 1 \). Tìm giá trị của \( T = (a - 2)^{2020} + (b - 1)^{2021} \)

Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
a^3 + b^3 = 3ab - 1
\]

Sử dụng công thức tổng bậc ba:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Thay vào bên trái của phương trình:

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 3ab - 1
\]

Giờ đây, ta có thể dùng định lý Viète hoặc các giá trị cụ thể cho \( a \) và \( b \) để tìm nghiệm. Hãy thử với \( a = 2 \) và \( b = 1 \):

Thử \( a = 2 \) và \( b = 1 \):

\[
a^3 + b^3 = 2^3 + 1^3 = 8 + 1 = 9
\]
\[
3ab - 1 = 3 \cdot 2 \cdot 1 - 1 = 6 - 1 = 5
\]

Rõ ràng không thỏa mãn. Thử một cặp khác như \( a = 1 \), \( b = 2 \):

\[
a^3 + b^3 = 1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9
\]
\[
3ab - 1 = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5
\]

Vẫn không thỏa mãn. Hãy hạ bậc:

Giả sử:

\[
a = 1 \quad và \quad b = 2
\]

Liên hệ:

\[
1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9
\]
\[
3ab - 1 = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5
\]

Để tiến đến các số cụ thể, ta có thể thử với \( a = 1 \), \( b = 1 \):

\[
1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2
\]
\[
3 \cdot 1 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2
\]

Nghiệm là \( a = 1 \) và \( b = 1 \) thỏa mãn phương trình, bây giờ chúng ta tìm \( T \):

\[
T = (a - 2)^{2020} + (b - 1)^{2021}
\]

Thay \( a = 1 \) và \( b = 1 \) vào biểu thức:

\[
T = (1 - 2)^{2020} + (1 - 1)^{2021}
\]
\[
T = (-1)^{2020} + 0^{2021}
\]

Rõ ràng:

\[
(-1)^{2020} = 1 \quad và \quad 0^{2021} = 0
\]

Nên:

\[
T = 1 + 0 = 1
\]

Vậy giá trị của \( T \) là:

\[
\boxed{1}
\]