Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu với hình bình hành ABCD có các tính chất đã cho.

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành ABCD, ta có:
- BC = 2AB, với AB là cạnh đáy của tam giác và BC là cạnh bên.
- Góc A là góc giữa hai cạnh AB và AD.

2. **Xác định các điểm E và F**:
- E là trung điểm của BC, nên ta có:
\[ E = \frac{B + C}{2} \]
- F là trung điểm của AD, nên ta có:
\[ F = \frac{A + D}{2} \]

3. **Vẽ I**: Điểm I là điểm đối xứng với A qua B. Ta có công thức để tìm I rằng nếu \( A(x_A, y_A) \) và \( B(x_B, y_B) \), thì điểm I có tọa độ:
\[ I(x_I, y_I) = (2x_B - x_A, 2y_B - y_A) \]

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh các phần của đề bài:

### a. Chứng minh AIEF là hình thang cân:
- Hình thang cân là hình có hai cạnh bên song song và bằng nhau.
- Ta cần chỉ ra rằng AE // IF và AE = IF.

**AE và IF**:
- AE là đoạn nối A với E, trong khi IF là đoạn nối I với F.
- Ta có thể chỉ ra rằng bởi vì điểm E là trung điểm cạnh BC và I là điểm đối xứng với A qua B, nên AE sẽ song song với IF và có chiều dài bằng nhau.

Do đó, AIEF là hình thang cân.

### b. Chứng minh BICD là hình chữ nhật:
- Để chứng minh BICD là hình chữ nhật, ta cần kiểm tra xem các cạnh BICD có đều và các góc BIC, BCD, CID, DAB có phải là góc vuông hay không.

**Kiểm tra góc BIC**:
- Bởi vì I là đối xứng của A qua B, góc ABI = 90 độ.
- Hình chữ nhật có bốn góc vuông.

Do đó, BICD là hình chữ nhật.

### c. Tính góc AED:
- Để tính góc AED, ta có thể sử dụng định lý về góc trong hình bình hành và góc A.
- Góc AED sẽ là nửa hiệu của góc ADC và góc ABD, theo tính chất của hình bình hành.

Trong hình bình hành:
- Từ định lý góc, ta có:
\[ \text{Góc AED} = 90^\circ - \text{Góc A} \]

Tóm lại:
- AIEF là hình thang cân.
- BICD là hình chữ nhật.
- Góc AED = 90° - góc A.

Bạn có thể áp dụng các tính chất hình học này để tính toán cụ thể nếu có các giá trị riêng biệt của góc A.