Để giải bài toán một cách có hệ thống, chúng ta sẽ lần lượt xử lý các phần của bài toán:

### a) Tính độ dài HB

1. **Đoạn thẳng AH (đường cao từ A xuống BC)** có thể được tính theo công thức:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]
Trong tam giác vuông, chiều dài cạnh huyền (\( BC \)) có thể được tính bằng định lý Pitago:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. Áp dụng vào công thức tính AH:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

3. **Chúng ta sẽ tính HB**. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, có công thức:
\[
HB = \frac{AC^2}{BC}
\]
Áp dụng vào công thức, ta có:
\[
HB = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)

Để chứng minh \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \), ta sẽ sử dụng tỉ lệ trong tam giác vuông:

- **Tam giác \( AHE \)** và **tam giác \( AHF \)** đều là tam giác vuông tại điểm H.
- Theo định lý hình học về tỉ lệ đường thẳng trong tam giác vuông, ta có:

\[
AE = \frac{AH^2}{AB}
\]
và
\[
AF = \frac{AH^2}{AC}
\]

4. Khi đó, ta nhân hai phương trình này:
\[
AE \cdot AB = \left(\frac{AH^2}{AB}\right) \cdot AB = AH^2
\]
\[
AF \cdot AC = \left(\frac{AH^2}{AC}\right) \cdot AC = AH^2
\]

5. Do đó, ta có:
\[
AE \cdot AB = AH^2 = AF \cdot AC
\]

### Kết luận

- Độ dài \( HB \) là \( 3.2 \) cm.
- Ta đã chứng minh được rằng \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \).

Hy vọng rằng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!