Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức trong bài toán này, ta tiến hành phân tích từng biểu thức một:

### a) \( A = \frac{13}{2x^2 + 2x + 10} \)

Giá trị lớn nhất của \( A \) sẽ xuất hiện khi mẫu số là nhỏ nhất. Ta cần phân tích biểu thức \( 2x^2 + 2x + 10 \):

1. Tính đạo hàm và tìm giá trị nhỏ nhất:
\[
f(x) = 2x^2 + 2x + 10
\]
\[
f'(x) = 4x + 2
\]
Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

2. Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = -\frac{1}{2} \):
\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 10 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 + 10 = \frac{1}{2} - 1 + 10 = 9.5
\]

3. Tính giá trị lớn nhất của \( A \):
\[
A_{\text{max}} = \frac{13}{9.5} \approx 1.368
\]

### b) \( B = \frac{15}{2x^2 + 5x + 20} \)

Tương tự như phần a, ta tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số \( 2x^2 + 5x + 20 \):

1. Tính đạo hàm và tìm giá trị nhỏ nhất:
\[
g(x) = 2x^2 + 5x + 20
\]
\[
g'(x) = 4x + 5
\]
Đặt \( g'(x) = 0 \):
\[
4x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{4}
\]

2. Tính giá trị của \( g(x) \) tại \( x = -\frac{5}{4} \):
\[
g\left(-\frac{5}{4}\right) = 2\left(-\frac{5}{4}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{4}\right) + 20 = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 20
\]
\[
= \frac{50}{16} - \frac{100}{16} + 20 = -\frac{50}{16} + 20 = -\frac{50}{16} + \frac{320}{16} = \frac{270}{16} = \frac{135}{8} = 16.875
\]

3. Tính giá trị lớn nhất của \( B \):
\[
B_{\text{max}} = \frac{15}{16.875} \approx 0.8889
\]

### c) \( C = \frac{30}{|x + 1| + |x - 8| + 2} \)

Phân tích biểu thức mẫu số:
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( |x + 1| + |x - 8| + 2 \), ta xét các trường hợp cho \( x \):

1. Khi \( x < -1 \): \( |x + 1| + |x - 8| = -(x + 1) - (x - 8) = -2x + 7 \)
2. Khi \( -1 \leq x < 8 \): \( |x + 1| + |x - 8| = (x + 1) - (x - 8) = 9 \)
3. Khi \( x \geq 8 \): \( |x + 1| + |x - 8| = (x + 1) + (x - 8) = 2x - 7 \)

Từ đó ta tìm được giá trị nhỏ nhất là 9 khi \( -1 \leq x < 8 \).

4. Tính giá trị lớn nhất của \( C \):
\[
C_{\text{max}} = \frac{30}{9} \approx 3.333
\]

### Kết luận
- Giá trị lớn nhất của \( A \): khoảng 1.368
- Giá trị lớn nhất của \( B \): khoảng 0.889
- Giá trị lớn nhất của \( C \): khoảng 3.333