Giá trị của tan 2a bằng

Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu từ công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác.

1. **Xác định cos a**:
- Ta có \(\sin a = \frac{1}{4}\).
- Sử dụng công thức \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):
\[
\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]
Vậy \(\cos a = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) (vì \(a\) nằm trong khoảng \((\frac{\pi}{2}, \pi)\)).

2. **Tính tan a**:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{15}}.
\]

3. **Tính tan 2a**:
- Sử dụng công thức \(\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}\):
\[
\tan^2 a = \left(-\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2 = \frac{1}{15}.
\]
Thay vào công thức:
\[
\tan 2a = \frac{2 \left(-\frac{1}{\sqrt{15}}\right)}{1 - \frac{1}{15}} = \frac{-\frac{2}{\sqrt{15}}}{\frac{14}{15}} = -\frac{2}{\sqrt{15}} \cdot \frac{15}{14} = -\frac{2\sqrt{15}}{14} = -\frac{\sqrt{15}}{7}.
\]

Vậy giá trị của \(\tan 2a\) là **\(-\frac{\sqrt{15}}{7}\)**. Đáp án đúng là C.