Để giải phương trình \( 2\sin x + 1 = 0 \), ta chuyển về dạng:

\[
2\sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2}
\]

Hàm lượng giác sin có giá trị bằng \(-\frac{1}{2}\) tại các góc:

\[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
\[
x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Bây giờ ta cần tìm số nghiệm của các giá trị \(x\) trong đoạn \([0; 2024\pi]\).

### Tính số nghiệm cho \(\frac{7\pi}{6} + 2k\pi\)
1. Tìm giới hạn \(k\):
\[
\frac{7\pi}{6} + 2k\pi \leq 2024\pi \implies 2k\pi \leq 2024\pi - \frac{7\pi}{6}
\]
\[
2k \leq 2024 - \frac{7}{6} \implies k \leq 1012 - \frac{7}{12} \approx 1011.4167
\]
Vậy \(k\) có thể nhận giá trị từ \(0\) đến \(1011\) (tổng cộng \(1012\) giá trị).

### Tính số nghiệm cho \(\frac{11\pi}{6} + 2k\pi\)
2. Tìm giới hạn \(k\):
\[
\frac{11\pi}{6} + 2k\pi \leq 2024\pi \implies 2k\pi \leq 2024\pi - \frac{11\pi}{6}
\]
\[
2k \leq 2024 - \frac{11}{6} \implies k \leq 1012 - \frac{11}{12} \approx 1011.0833
\]
Vậy \(k\) có thể nhận giá trị từ \(0\) đến \(1011\) (tổng cộng \(1012\) giá trị).

### Tổng số nghiệm
Tổng số nghiệm trong đoạn \([0; 2024\pi]\) là:
\[
1012 + 1012 = 2024
\]

Vậy đáp án là **A. 2024**.