Cho △ABC đều, đường cao AH. M là điểm bất kỳ trên đáy BC. Kẻ MP ⊥ AB và MQ ⊥ AC. Gọi O là trung điểm của AM

Giải bài 3 trong hình đề:

### a) Chứng minh rằng điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.

**Chứng minh:**
- Ta có △ABC đều, do đó AH là đường cao và đồng thời là trung tuyến và phân giác.
- M là điểm tùy ý trên đáy BC.
- Kẻ MP ⊥ AB và MQ ⊥ AC. Vì vậy, góc APB = 90° và góc AQH = 90°.
- Do đó, A là tâm đường tròn ngoại tiếp △PMQ, có nghĩa là góc APQ phải bằng 90° (góc nội tiếp).
- Suy ra, điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn với đường kính AH.

### b) Tứ giác OPHQ có hình gì? Chứng minh.

**Chứng minh:**
- Xét tứ giác OPHQ, vì O là trung điểm của AM và AH ⊥ BC.
- Do MQ ⊥ AC và MP ⊥ AB nên OP ≡ OQ, tức là hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Do đó tứ giác OPHQ là hình chữ nhật (có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và có các góc vuông).

### c) Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất.

**Xác định:**
- Để PQ có độ dài nhỏ nhất, M cần được đặt sao cho PQ là đường vuông góc với AB và AC.
- Điều này xảy ra khi M nằm trên đoạn thẳng nằm giữa điểm P và Q, tức là M là chân vuông góc từ O đến BC.
- Vị trí này sẽ đảm bảo rằng PQ có độ dài nhỏ nhất, bằng cách tối thiểu hóa khoảng cách từ O đến BC.

Hy vọng phần giải này có ích cho bạn!