Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 4), B(-1;1;4), C(0;0;4). Tính độ dài đường cao AH

Để tính độ dài đường cao \( AH \) từ điểm \( A \) hạ xuống mặt phẳng chứa tam giác \( ABC \), đầu tiên chúng ta cần tìm phương trình mặt phẳng chứa tam giác này.

1. **Tìm véc tơ chỉ phương của các cạnh của tam giác**:
- Tính véc tơ \( \overrightarrow{AB} \):
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1, 1, 4) - (-1, 2, 4) = (0, -1, 0)
\]
- Tính véc tơ \( \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (0, 0, 4) - (-1, 2, 4) = (1, -2, 0)
\]

2. **Tính tích có hướng của hai véc tơ**:
- Tích có hướng \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & -1 & 0 \\
1 & -2 & 0
\end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (0 + 0) - \mathbf{j} \cdot (0 - 0) + \mathbf{k} \cdot (0 - (-1)) = (0, 0, 1)
\]
- Véc tơ pháp tuyến \( \overrightarrow{N} = (0, 0, 1) \).

3. **Phương trình mặt phẳng chứa tam giác \( ABC \)**:
- Mặt phẳng có thể viết dưới dạng:
\[
0(x + 1) + 0(y - 2) + 1(z - 4) = 0 \quad \text{hay đơn giản là} \quad z = 4.
\]

4. **Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng**:
- Khoảng cách từ điểm \( A(-1, 2, 4) \) tới mặt phẳng \( z = 4 \):
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
Trong đó, \( A = 0, B = 0, C = 1, D = -4 \) và \( (x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, 4) \):
\[
d = \frac{|0(-1) + 0(2) + 1(4) - 4|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 4|}{1} = \frac{0}{1} = 0.
\]
- Điều này có nghĩa là điểm \( A \) nằm trên mặt phẳng chứa tam giác \( ABC \).

Do đó, độ dài đường cao \( AH \) từ điểm \( A \) đến cạnh \( BC \) là 0.