Cho tam giác ABC vuông tại A có AB

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học trong tam giác vuông và hình bình hành.

### a) Chứng minh BDFE là hình bình hành.

Để chứng minh BDFE là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. **D là hình chiếu của E trên AB**, nên \(DE \perp AB\).
2. **E là hình chiếu của D trên AC**, nên \(ED \perp AC\).

Ta có:
- Từ tính chất của hình chiếu:
- \(BD = BE\) vì D là hình chiếu vuông góc của E xuống AB.
- \(DF = EF\) vì E là hình chiếu vuông góc của D xuống AC.

Từ 2 tính chất trên, ta có:
\[
BD = EF \quad \text{và} \quad DE = DF
\]
Do đó, BDFE là hình bình hành.

### b) Chứng minh DFEH là hình thang cân.

Để chứng minh DFEH là hình thang cân, ta cần chứng minh DE song song với FH và DF = EH.

1. **DE song song với FH**:
- Do D và E là hai điểm nằm trên hai đường thẳng AB và AC, với AH là đường cao, nên DE sẽ song song với đoạn cao AH, đồng thời FH cũng là đường cao từ F xuống EH.

2. **Giá trị DF và EH**:
Ta biết rằng DF và EH đều là đoạn thẳng thẳng đứng từ những điểm E và H xuống các đường thẳng AB và AC. Từ tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
DF = EH
\]

Vậy, DFEH là hình thang cân.

### c) Chứng minh A, N, M thẳng hàng.

1. **Lấy M sao cho F là trung điểm của EM**:
- Từ đó, \(EF = FM\).

2. **Lấy N sao cho F là trung điểm của BN**:
- Từ đó, \(BF = FN\).

3. Ta đã chứng minh rằng BDFE là hình bình hành, và DFEH là hình thang cân. Điều này dẫn đến việc:
\[
BD = EF \quad \text{và} \quad BF = FN
\]
4. Do đó, A, N, M nằm trên đường thẳng nối giữa trung điểm ED và FH.

Khi D, E, F nằm trên cùng mặt phẳng, các điểm A, N, M sẽ thẳng hàng, vì vậy ta có thể kết luận rằng:
\[
A, N, M \text{ thẳng hàng.}
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành chứng minh cho cả ba phần của bài toán.