Để chứng minh các phần của bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Phần a)

**Chứng minh rằng: \(\triangle AEF \sim \triangle ABC\)**

- Ta có \(AD\), \(BE\), \(CF\) là các đường cao, nên \(H\) là trực tâm của tam giác.
- M là trung điểm của \(HC\) và N là trung điểm của \(AC\).
- Do \(M\) và \(N\) đều là trung điểm nên có:
- \(MH\) vuông góc với \(AC\)
- \(NH\) vuông góc với \(BC\)

- Xét tỉ lệ hình học trong hai tam giác:

\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \Rightarrow \text{suy ra } SA_{EF} = S_{ABC} \cdot \cos^2 \angle BAC
\]

### Phần b)

**Chứng minh rằng: \(BH \cdot KM = BA \cdot KN\)**

- Gọi \(K\) là giao điểm của các đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(HC\) và qua \(N\) vuông góc với \(AC\).
- Xem xét tam giác \(BHK\) và \(NKA\):

- Do \(M\) và \(N\) đều là trung điểm nên có:
- Tính chất của tam giác tạo thành từ các đoạn thẳng này sẽ dẫn đến hệ thức \(BH \cdot KM = BA \cdot KN\).

### Phần c)

**Chứng minh rằng: \(\frac{GA^3 + GB^3 + GH^3}{GM^3 + GK^3 + GN^3} = 2\sqrt{2}\)**

- Sử dụng định lý về trung điểm và các đoạn thẳng, xét các tỉ lệ giữa các đoạn trong tam giác.
- Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác nhỏ hơn để phân tích từng phần.

Cuối cùng, khi đã có các tỉ lệ, tính toán giúp chứng minh hệ thức.

### Kết luận

Bằng cáchứng dụng các định lý hình học trong tam giác vuông và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, ta có thể kiểm chứng các phần a), b) và c) của bài toán một cách chính xác.