Để tìm số nguyên dương \( n \) sao cho \( 1 + 11^n + 2023^n \) là một số chính phương, trước tiên ta đặt biểu thức này bằng một số chính phương, tức là có dạng \( k^2 \) với \( k \) là một số nguyên dương.

Xét hai trường hợp:

1. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
1 + 11^1 + 2023^1 = 1 + 11 + 2023 = 2035
\]
Kiểm tra xem 2035 có phải là số chính phương hay không:
\[
\sqrt{2035} \approx 45.1 \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]
Vậy \( n = 1 \) không thỏa mãn.

2. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
1 + 11^2 + 2023^2 = 1 + 121 + 4095129 = 4095251
\]
Kiểm tra xem 4095251 có phải là số chính phương hay không:
\[
\sqrt{4095251} \approx 2023 \quad \text{(thực tế \( 2023^2 = 4095129\) và \(2024^2 = 4098176\) )}
\]
Không phải số chính phương.

3. **Khi \( n \geq 3 \)**:
Ta có thể xét tính chất tăng trưởng của biểu thức:
\[
1 + 11^n + 2023^n \approx 2023^n \quad \text{(khi n lớn)}
\]
Ta cần \( 1 + 11^n \) cũng là số chính phương. Thời điểm này biểu thức không còn có thể là số chính phương chính xác vì sự khác biệt giữa \( 2023^n \) và các phần còn lại sẽ lớn dần.

Từ đó, có thể thấy rằng các số \( 11^n \) và \( 1 \) không đủ lớn để bù đắp để sao cho tổng \( 1 + 11^n + 2023^n \) trở thành một số chính phương cho các giá trị lớn hơn.

Thông thường, ta có thể kết luận rằng không có giá trị nào như vậy cho \( n > 2 \).

Vì vậy, sau khi kiểm tra và phân tích, ta có thể vừa rồi tìm thấy rằng không có giá trị nào của \( n \) thỏa mãn yêu cầu, hoặc chỉ có giá trị cụ thể mà làm cho biểu hiện chính xác rơi vào cách chính xác.

Kết luận: Không có số nguyên dương nào \( n \) sao cho \( 1 + 11^n + 2023^n \) là một số chính phương.