Để chứng minh rằng nếu hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) khi chia cho một số chẵn đều có cùng một số dư là 1, thì \( a - b \) chia hết cho 2, chúng ta hãy tiến hành như sau:

Giả sử \( a \) và \( b \) đều được chia cho một số chẵn \( n \) (ví dụ, \( n = 2k \) với \( k \) là một số nguyên nào đó) và có cùng một số dư là 1.

Ta có:
\[
a = q_1 \cdot n + 1 \quad (1)
\]
\[
b = q_2 \cdot n + 1 \quad (2)
\]
với \( q_1 \) và \( q_2 \) là các thương (các số nguyên).

Từ (1) và (2), ta có:
\[
a - b = (q_1 \cdot n + 1) - (q_2 \cdot n + 1)
\]
\[
a - b = q_1 \cdot n - q_2 \cdot n
\]
\[
a - b = (q_1 - q_2) \cdot n
\]

Vì \( n \) là một số chẵn (có thể viết dưới dạng \( n = 2k \)), nên ta có:
\[
a - b = (q_1 - q_2) \cdot (2k)
\]

Điều này có nghĩa rằng \( a - b \) là bội số của 2, tức là \( a - b \) chia hết cho 2.

Vậy nên, chúng ta đã chứng minh được rằng:
Nếu \( a \) và \( b \) khi chia cho cùng một số chẵn đều có cùng một số dư (là 1), thì \( a - b \) chia hết cho 2.