Để giải bài toán này, chúng ta có thể đặt:

- \( x \): Số tiền điện mà gia đình An đã trả trong tháng 3.
- \( y \): Số tiền nước mà gia đình An đã trả trong tháng 3.

Theo đề bài, ta có hai phương trình:

1. **Tổng tiền điện và nước trong tháng 3:**

\[
x + y = 1.075.000 \quad \text{(1)}
\]

2. **Tăng tiền điện và giảm tiền nước trong tháng 4:**

Tiền điện trong tháng 4 là \( x + 0.12x = 1.12x \).

Tiền nước trong tháng 4 là \( y - 0.10y = 0.90y \).

Tổng tiền điện và nước trong tháng 4 sẽ là:

\[
1.12x + 0.90y
\]

Theo đề bài, tổng tiền trong tháng 4 tăng thêm 102.600 đồng so với tháng 3:

\[
1.12x + 0.90y = 1.075.000 + 102.600 \quad \text{(2)}
\]

Giải phương trình (2):

\[
1.12x + 0.90y = 1.177.600
\]

**Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:**

1. \( x + y = 1.075.000 \)
2. \( 1.12x + 0.90y = 1.177.600 \)

Thay \( y \) từ (1) vào (2):

\[
y = 1.075.000 - x
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
1.12x + 0.90(1.075.000 - x) = 1.177.600
\]

Giải phương trình trên:

\[
1.12x + 967.500 - 0.90x = 1.177.600
\]

\[
(1.12 - 0.90)x + 967.500 = 1.177.600
\]

\[
0.22x + 967.500 = 1.177.600
\]

\[
0.22x = 1.177.600 - 967.500
\]

\[
0.22x = 210.100
\]

\[
x = \frac{210.100}{0.22} \approx 955.000
\]

Bây giờ thay giá trị của \( x \) vào (1) để tìm \( y \):

\[
955.000 + y = 1.075.000
\]

\[
y = 1.075.000 - 955.000 \approx 120.000
\]

Vậy số tiền điện và tiền nước mà gia đình An đã trả trong tháng 3 là:

- **Tiền điện:** 955.000 đồng
- **Tiền nước:** 120.000 đồng.