Một mẫu đá uranynit có tỷ lệ khối lượng \[^{206}\text{Pb} : {}^{238}\text{U} = 0,0435\]. Biết chu kỳ bán hủy của \[^{238}\text{U}\] là \(4,55921 \times 10^{9}\) năm. Tính tuổi của mẫu đá đó

Để tính tuổi của mẫu đá uranynit dựa trên tỷ lệ khối lượng giữa \(^{206}\text{Pb}\) và \(^{238}\text{U}\), chúng ta sử dụng công thức sau:

\[
N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
\]

Trong đó:
- \(N(t)\): số lượng chất phóng xạ còn lại vào thời điểm \(t\).
- \(N_0\): số lượng chất phóng xạ ban đầu.
- \(T_{1/2}\): chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ.
- \(t\): thời gian đã trôi qua (tuổi của mẫu).

Ta biết rằng tỷ lệ khối lượng của \(^{206}\text{Pb}\) và \(^{238}\text{U}\) là \(0,0435\). Gọi \(N_0\) là số lượng \(^{238}\text{U}\) ban đầu, thì:

\[
N(t) = 0,0435 \times N_0
\]

Mặt khác, \(N(t)\) cũng có thể được tính từ số lượng \(^{238}\text{U}\) còn lại:

\[
N(t) = N_0 - N
\]

Trong đó \(N\) là số lượng \(^{238}\text{U}\) đã phân rã, và \(N = N_0 - N(t)\). Khi đó:

\[
N = N_0 - 0,0435 N_0 = (1 - 0,0435) N_0 = 0,9565 N_0
\]

Từ đây, ta có mối liên hệ giữa \(N\) và \(N_0\):

\[
0,9565 N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
\]

Chia hai vế cho \(N_0\) và giải phương trình:

\[
0,9565 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
\]

Lấy logarit hai vế:

\[
\log(0,9565) = \frac{t}{T_{1/2}} \log\left( \frac{1}{2} \right)
\]

Sắp xếp lại để tìm \(t\):

\[
t = T_{1/2} \frac{\log(0,9565)}{\log\left( \frac{1}{2} \right)}
\]

Thay \(T_{1/2} = 4,55921 \times 10^9\) năm vào công thức:

\[
t = 4,55921 \times 10^9 \times \frac{\log(0,9565)}{\log(0,5)}
\]

Tính giá trị \( \log(0,9565) \) và \( \log(0,5) \):

- \( \log(0,5) \approx -0,3010 \)
- \( \log(0,9565) \approx -0,0173 \)

Tiến hành tính:

\[
t \approx 4,55921 \times 10^9 \times \frac{-0,0173}{-0,3010} \approx 4,55921 \times 10^9 \times 0,0575 \approx 2,621 \times 10^8 \text{ năm}
\]

Vậy tuổi của mẫu đá uranynit khoảng \(2,621 \times 10^8\) năm, hay xấp xỉ 262 triệu năm.