Để xác định giá trị của \( x \) để \( MN \) song song với \( BD' \) trong hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần phân tích vị trí và tọa độ của các điểm liên quan.

1. **Xác định các tọa độ:**
- Giả sử các tọa độ của các điểm trong không gian như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(0, b, 0) \)
- \( A'(0, 0, h) \)
- \( B'(a, 0, h) \)
- \( C'(a, b, h) \)
- \( D'(0, b, h) \)

2. **Tìm điểm \( M \) trên cạnh \( AC \):**
Vì \( AC = 3MC \), nên ta có:
\( AM = \frac{1}{4}AC \).
Tọa độ của \( M \) sẽ là:
\[
M\left(\frac{a}{4}, \frac{b}{4}, 0\right)
\]

3. **Tìm điểm \( N \) trên đoạn \( CD \):**
Giả sử đoạn \( CD \) được chia theo tỷ lệ với \( C'N = xC'D \).
Tọa độ của \( N \) sẽ là:
\[
N(0, b - x(b - 0), 0) = (0, b - xb, 0)
\]

4. **Điều kiện song song:**
Để \( MN \) song song với \( BD' \), vectơ \( MN \) phải tỷ lệ với vectơ \( BD' \).
- Vectơ \( MN \):
\[
MN = N - M = \left(0 - \frac{a}{4}, (b - xb) - \frac{b}{4}, 0\right) = \left(-\frac{a}{4}, b(1 - x) - \frac{b}{4}, 0\right)
\]
- Vectơ \( BD' \):
\[
BD' = D' - B = (0, b, h) - (a, 0, h) = \left(-a, b, 0\right)
\]

5. **Tính tương tỷ lệ:**
\[
\frac{MN}{BD'} \Rightarrow \left(-\frac{a}{4}, b(1 - x) - \frac{b}{4}, 0\right) \text{ và } \left(-a, b, 0\right)
\]
Từ đây, ta có hai điều kiện:
- Tỉ lệ thứ nhất: \(-\frac{a}{4} = k(-a)\) \( \Rightarrow k = \frac{1}{4}\)
- Tỉ lệ thứ hai: \(b(1 - x) - \frac{b}{4} = kb\)
Thay \( k = \frac{1}{4} \):
\[
b(1 - x) - \frac{b}{4} = \frac{1}{4}b
\]
Rút gọn:
\[
1 - x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của \( x \) để \( MN \) song song với \( BD' \) là \( x = \frac{1}{2} \).