Để tìm góc giữa hai vector MN và A'B trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta cần xác định tọa độ của các điểm này trong không gian 3D.

Giả sử hình lập phương có cạnh dài 1 và tọa độ các điểm được xác định như sau (mỗi điểm được ký hiệu theo thứ tự ABCD và các điểm trên mặt trên):

- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(1, 0, 0)\)
- \(C(1, 1, 0)\)
- \(D(0, 1, 0)\)
- \(A'(0, 0, 1)\)
- \(B'(1, 0, 1)\)
- \(C'(1, 1, 1)\)
- \(D'(0, 1, 1)\)

**Bước 1: Tìm tọa độ của M và N.**

- Tọa độ trung điểm \(M\) giữa \(A'\) và \(D'\):

\[
M = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)
\]

- Tọa độ trung điểm \(N\) giữa \(C'\) và \(D'\):

\[
N = \left(\frac{1 + 0}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = (0.5, 1, 1)
\]

**Bước 2: Tính vector MN.**

Vector \( \vec{MN} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của N trừ cho tọa độ của M:

\[
\vec{MN} = N - M = (0.5, 1, 1) - (0, 0.5, 1) = (0.5, 0.5, 0)
\]

**Bước 3: Tính vector A'B.**

Vector \( \vec{A'B} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của B trừ cho tọa độ của A':

\[
\vec{A'B} = B - A' = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1)
\]

**Bước 4: Tính góc giữa hai vector.**

Góc giữa hai vector \(\vec{MN}\) và \(\vec{A'B}\) có thể được tính bằng công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{A'B}}{|\vec{MN}| |\vec{A'B}|}
\]

Trước tiên, chúng ta cần tính tích vô hướng \(\vec{MN} \cdot \vec{A'B}\):

\[
\vec{MN} \cdot \vec{A'B} = (0.5)(1) + (0.5)(0) + (0)(-1) = 0.5
\]

Tiếp theo, tìm độ lớn của hai vector:

\[
|\vec{MN}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
|\vec{A'B}| = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
\]

Bây giờ chúng ta trở lại với công thức tính cosin của góc:

\[
\cos \theta = \frac{0.5}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \sqrt{2}} = \frac{0.5}{1} = 0.5
\]

Cuối cùng, suy ra:

\[
\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ
\]

Vậy góc giữa hai vector MN và A'B là \(60^\circ\).