Chúng ta sẽ thực hiện phép tính:

\[
\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{11} + \frac{4}{7} \cdot \frac{9}{11} + \frac{3}{7}
\]

Bước 1: Tính các phần tử của biểu thức.

- Tính \(\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{11}\):

\[
\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 11} = \frac{8}{77}
\]

- Tính \(\frac{4}{7} \cdot \frac{9}{11}\):

\[
\frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 11} = \frac{36}{77}
\]

Bước 2: Cộng hai phần trên lại với nhau:

\[
\frac{8}{77} + \frac{36}{77} = \frac{8 + 36}{77} = \frac{44}{77}
\]

Bước 3: Rút gọn \(\frac{44}{77}\):

\[
\frac{44}{77} = \frac{4}{7} \quad \text{(vì cả tử và mẫu đều chia cho 11)}
\]

Bước 4: Cộng với phần còn lại của biểu thức:

\[
\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = \frac{4 + 3}{7} = \frac{7}{7} = 1
\]

Vậy giá trị cuối cùng của biểu thức là:

\[
\boxed{1}
\]