Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức:

\[
\frac{2x + 7}{x - 2} < 0
\]

Bước 1: Tìm các giá trị của \( x \) làm cho biểu thức phân số này bằng 0 hoặc không xác định.

- Đặt tử số bằng 0:
\[
2x + 7 = 0 \implies 2x = -7 \implies x = -\frac{7}{2}
\]

- Đặt mẫu số bằng 0 (tìm điểm không xác định):
\[
x - 2 = 0 \implies x = 2
\]

Bước 2: Xác định khoảng giá trị của biểu thức dựa vào các điểm tới hạn đã tìm được: \( x = -\frac{7}{2} \) và \( x = 2 \).

Chia trục số thành các khoảng:
1. \( (-\infty, -\frac{7}{2}) \)
2. \( (-\frac{7}{2}, 2) \)
3. \( (2, +\infty) \)

Bước 3: Xét dấu của biểu thức \( \frac{2x + 7}{x - 2} \) trong từng khoảng:

- **Khoảng \( (-\infty, -\frac{7}{2}) \)**:
- Chọn \( x = -4 \):
\[
2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1 \quad (âm)
\]
\[
-4 - 2 = -6 \quad (âm)
\]
Do đó, \( \frac{-1}{-6} > 0 \).

- **Khoảng \( (-\frac{7}{2}, 2) \)**:
- Chọn \( x = 0 \):
\[
2(0) + 7 = 7 \quad (dương)
\]
\[
0 - 2 = -2 \quad (âm)
\]
Do đó, \( \frac{7}{-2} < 0 \).

- **Khoảng \( (2, +\infty) \)**:
- Chọn \( x = 3 \):
\[
2(3) + 7 = 6 + 7 = 13 \quad (dương)
\]
\[
3 - 2 = 1 \quad (dương)
\]
Do đó, \( \frac{13}{1} > 0 \).

Bước 4: Từ việc xét dấu, ta có:
- \( \frac{2x + 7}{x - 2} < 0 \) chỉ xảy ra trong khoảng \( (-\frac{7}{2}, 2) \).

Bước 5: Tìm các số nguyên trong khoảng \( (-\frac{7}{2}, 2) \):
- Giới hạn dưới: \( -\frac{7}{2} = -3.5 \) (số nguyên lớn nhất nhỏ hơn là -3).
- Giới hạn trên: 2 (số nguyên nhỏ hơn 2 là 1).

Các số nguyên trong khoảng này là: \( -3, -2, -1, 0, 1 \).

Vậy các số nguyên \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức là:
\[
\{-3, -2, -1, 0, 1\}
\]