Cho A = 1 +3 +3^2 +3^3 +… +3^2023. Chứng minh: A chia hết cho 4, A chia hết cho 5

Để chứng minh \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2023} \) chia hết cho 4 và 5, ta sẽ sử dụng hai yếu tố:

1. **Tổng của cấp số nhân**
2. **Sử dụng tính chất chia hết**

### Tính A

\( A \) là một tổng của cấp số nhân với công bội là 3. Tổng cấp số nhân có công thức tính như sau:
\[
A = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu (ở đây là 1)
- \( r \) là công bội (ở đây là 3)
- \( n \) là số hạng (ở đây là 2024, do bắt đầu từ 0)

Áp dụng vào công thức ta có:
\[
A = \frac{1(1 - 3^{2024})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{2024}}{-2} = \frac{3^{2024} - 1}{2}
\]

### Chứng minh A chia hết cho 4

Để chứng minh \( A \) chia hết cho 4, cần xét \( 3^{2024} - 1 \):
- Sử dụng định lý đồng dư,
- Ta sẽ chứng minh \( 3^{2024} \equiv 1 \mod 4 \):

Do \( 3 \equiv -1 \mod 4 \), nên:
\[
3^{2024} \equiv (-1)^{2024} \equiv 1 \mod 4
\]
Vậy:
\[
3^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 4
\]
Điều này chứng tỏ \( 3^{2024} - 1 \) chia hết cho 4. Vậy \( \frac{3^{2024} - 1}{2} \equiv 0 \mod 4 \), tức là \( A \) chia hết cho 4.

### Chứng minh A chia hết cho 5

Tiếp theo, để chứng minh \( A \) chia hết cho 5, ta sẽ xét \( 3^{2024} - 1 \) mod 5:
- Ta có \( 3 \equiv 3 \mod 5 \), tính \( 3^{2024} \mod 5 \):
- Theo định lý Fermat:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]
Với \( p = 5 \), ta có:
\[
3^{4} \equiv 1 \mod 5
\]
Vì \( 2024 = 4 \times 506 \), nên
\[
3^{2024} \equiv (3^{4})^{506} \equiv 1^{506} \equiv 1 \mod 5
\]
Vậy:
\[
3^{2024} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

Như vậy, \( 3^{2024} - 1 \) chia hết cho 5, suy ra \( \frac{3^{2024} - 1}{2} \equiv 0 \mod 5 \), tức là \( A \) chia hết cho 5.

### Kết luận

Từ những phân tích trên, ta đã chứng minh được rằng \( A \) chia hết cho 4 và 5.