Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của hình vuông và tính chất của các đoạn thẳng.

### a) Chứng minh O là trung điểm của BD.

1. **Điều kiện ban đầu**:
- Gọi A, B, C, D là các đỉnh của hình vuông, với tọa độ như sau:
- A(0, 1)
- B(1, 1)
- C(1, 0)
- D(0, 0)
- O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

2. **Tìm tọa độ của O**:
- Đường chéo AC nối giữa A và C, phương trình của AC:
- Tọa độ điểm A: (0,1)
- Tọa độ điểm C: (1,0)
- Phương trình đường thẳng AC: \( y = 1 - x \)

- Đường chéo BD nối giữa B và D, phương trình của BD:
- Tọa độ điểm B: (1,1)
- Tọa độ điểm D: (0,0)
- Phương trình đường thẳng BD: \( y = x \)

3. **Tìm giao điểm O**:
- Giải hệ phương trình \( y = 1 - x \) và \( y = x \):
- \( x = 1 - x \) dẫn đến \( 2x = 1 \) => \( x = \frac{1}{2} \)
- Thay vào phương trình \( y = x \) => \( y = \frac{1}{2} \)
- Vậy tọa độ O là \( O\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \).

4. **Tính tọa độ các điểm B và D**:
- Tọa độ B là (1, 1) và tọa độ D là (0, 0).

5. **Tính tọa độ trung điểm của BD**:
- Trung điểm M của BD được tính theo công thức:
\[
M\left(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}\right) = M\left(\frac{1 + 0}{2}, \frac{1 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
\]

6. **Kết luận**:
- Ta thấy O (giao điểm của AC) và M (trung điểm của BD) có cùng tọa độ, tức là O chính là trung điểm của BD.

### b) Chứng minh OE là đường trung bình của tam giác ABC.

1. **Điều kiện ban đầu**:
- E là trung điểm của AB.
- Tọa độ A là (0, 1) và B là (1, 1).

2. **Tính tọa độ điểm E**:
- Tọa độ E được tính như sau:
\[
E\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = E\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = E\left(\frac{1}{2}, 1\right).
\]

3. **Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC**:
- A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0).

4. **Tính trung điểm của AC**:
- Tọa độ trung điểm M của AC:
\[
M\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
\]

5. **Kết luận**:
- Đoạn thẳng OE nối O và E có độ dài bằng 1/2 đoạn thẳng BC (đoạn BC dài 1), và E nằm trên đoạn thẳng BC. Vậy OE chính là đường trung bình của tam giác ABC.

Bằng những bước chứng minh trên, ta đã hoàn thành cả hai yêu cầu của bài toán.