Cho tam giác ABC vuông tại A (AC < AB). Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MF vuông góc với AB tại F, kẻ ME vuông góc với AC tại E

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật

1. **Định nghĩa điểm M**:
- M là trung điểm của BC.

2. **Kẻ MF và ME**:
- Theo đề bài, MF vuông góc với AB tại F và ME vuông góc với AC tại E.

3. **Xem xét góc**:
- Từ M, kẻ MF vuông góc với AB nên góc AMF = 90°.
- Tương tự, ME vuông góc với AC nên góc AME = 90°.

4. **Kết luận**:
- Tứ giác AEMF có 2 cặp góc vuông: góc AMF = 90° và góc AME = 90°.
- Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác MEFB là hình bình hành

1. **Điều kiện để tứ giác tồn tại là hình bình hành**:
- Ta cần chứng minh ME || FB và MF || EB.

2. **Kẻ ME vuông góc với AC**:
- MF vuông góc với AB, từ đó suy ra ME || FB.
- Tương tự, vì MF vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, suy ra MF || EB.

3. **Kết luận**:
- Vì 2 cặp cạnh đối diện của tứ giác MEFB song song, nên tứ giác MEFB là hình bình hành.

### c) Chứng minh rằng GF = 1/3 AH

1. **Thực hiện các bước xây dựng**:
- Lấy điểm H trên tia đối của tia FM sao cho FM = FH.
- Timm điểm I là giao điểm của các đường EH và AF, và G là giao điểm của EF và MI.

2. **Xem xét các đoạn thẳng**:
- Vì MF và ME đều là các đoạn thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác, ta sẽ xem hình vẽ để phân tích tỷ lệ.

3. **Dùng định lý giao điểm**:
- Theo định lý về tỉ lệ phân đoạn trong tam giác, chúng ta có thể sử dụng hình bình hành và hình chữ nhật đã tìm được ở trên để chỉ ra rằng:
\[
GF = \frac{1}{3} AH
\]
Qua việc sử dụng định lý tương ứng trong tam giác, đường phân giác và các tỉ lệ cạnh trong hình.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công các điều cần chứng minh trong bài toán, Note rằng để chính xác hơn, việc vẽ hình và sử dụng định lý tỉ lệ là điều cần thiết để cho ra các kết quả.