Để chứng minh hai phần của bài toán này, ta sẽ áp dụng một số lý thuyết về tam giác và tính chất của phân giác.

### a) Chứng minh rằng \( \triangle ABE = \triangle ACE \)

1. **Giả thiết:** Ta có \( AB = AC \) (điều kiện tam giác đều).
2. **Phân giác:** Ta biết rằng \( AE \) là phân giác của \(\angle BAC\), từ đó suy ra:
- \( \angle BAE = \angle CAE \)
3. **Các cạnh:**
- Đã có \( AB = AC \).
- \( AE \) là cạnh chung của hai tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACE \).
4. **Áp dụng dấu hiệu đồng dạng:** Từ thông tin trên, ta có:
- \( AB = AC \)
- \( \angle BAE = \angle CAE \)
- \( AE = AE \) (cạnh chung).

Do đó, ta suy ra được:
\[
\triangle ABE \cong \triangle ACE \text{ (theo tiêu đề cạnh - góc - cạnh)}
\]

### b) Chứng minh rằng \( AE \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \)

1. **Từ kết quả phần a:** Từ sự đồng dạng \( \triangle ABE \cong \triangle ACE \), suy ra rằng:
- Các góc ở điểm E sẽ bằng nhau: \( \angle ABE = \angle ACE \).
2. **Độ dài:** Vì \( AE \) là phân giác của góc \( BAC \) với \( AB = AC \), từ đó có:
- \( BE = CE \), nghĩa là điểm E chia đoạn thẳng \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.
3. **Kết luận:** Với việc \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), ta kết luận rằng \( AE \) đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \).

Vậy ta đã chứng minh xong bài toán!