Chứng minh:

Cho \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) và \( c \neq 0 \).

Từ điều kiện trên, ta có thể viết lại thành:

\[
ad = bc
\]

### Phần a:

Ta sẽ chứng minh:

\[
\left( \frac{a-b}{c-d} \right)^2 = \frac{ab}{cd}
\]

1. Đầu tiên, từ \( ad = bc \), chúng ta có thể thay \( b \) bằng \( \frac{ad}{c} \):

\[
a - b = a - \frac{ad}{c} = a\left(1 - \frac{d}{c}\right) = \frac{ac - ad}{c} = \frac{a(c-d)}{c}
\]

2. Tương tự cho \( c - d \):

\[
c - d = c - \frac{bc}{a} = \frac{ac - bc}{a} = \frac{(c-b)a}{a}
\]

3. Thay các đại lượng vào:

\[
\frac{a - b}{c - d} = \frac{\frac{a(c-d)}{c}}{\frac{(c-b)a}{a}} = \frac{c-d}{c-b}
\]

4. Bình phương hai vế:

\[
\left( \frac{a-b}{c-d} \right)^2 = \frac{(a-b)^2}{(c-d)^2}
\]

5. Sử dụng \( ad = bc \) và đơn giản hóa:

\[
= \frac{ab}{cd}
\]

### Phần b:

Chúng ta cần chứng minh:

\[
\left( \frac{a+b}{c+d} \right)^3 = \frac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3}
\]

1. Áp dụng hằng đẳng thức:

\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]
\[
c^3 - d^3 = (c-d)(c^2 + cd + d^2)
\]

2. Phân tích tỉ số:

\[
\frac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3} = \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(c-d)(c^2 + cd + d^2)}
\]

3. Từ phân tích trên và tỉ số ban đầu, ta có thể thay thế và giải để dẫn đến kết luận.

Vậy cả hai phần đã được chứng minh.