Để giải bài toán:

**a)** Chúng ta có một khu đất hình chữ nhật với chiều dài (L) gấp đôi chiều rộng (W), tức là:

\[ L = 2W \]

Diện tích chu vi (P) của khu đất hình chữ nhật được tính bằng công thức:

\[ P = 2(L + W) \]

Vì L = 2W, ta có:

\[ P = 2(2W + W) = 2(3W) = 6W \]

Số cọc mà chú Nam dùng để rào xung quanh khu đất này là 310 chiếc. Theo đề bài, ở mỗi gốc có 1 cọc và khoảng cách giữa các cọc là 1m. Chu vi của khu đất được tính bằng số cọc nhân với khoảng cách giữa các cọc:

\[
P = 310 \times 1 = 310 \text{m}
\]

Từ đó, ta có:

\[ 6W = 310 \Rightarrow W = \frac{310}{6} = \frac{155}{3} \approx 51.67 \text{m} \]

Chiều dài L sẽ là:

\[ L = 2W = 2 \times \frac{155}{3} = \frac{310}{3} \approx 103.33 \text{m} \]

**Tính diện tích khu đất:**

Diện tích (A) của khu đất là:

\[ A = L \times W = \frac{310}{3} \times \frac{155}{3} = \frac{310 \times 155}{9} \text{m}^2 \]

Đổi sang hecta (1ha = 10,000 m²):

\[ A \approx \frac{310 \times 155}{9 \times 10000} \text{ha} \]

**Khối lượng rau thu hoạch:**

Theo nội dung bài toán, chú Nam có thể thu hoạch 3 tấn rau trên 1 hecta. Vậy tổng khối lượng rau thu hoạch sẽ là:

\[
\text{Khối lượng rau} = 3 \text{ tấn/ha} \times \text{Diện tích tính bằng ha}
\]

**Tính toán cụ thể:**
1. Diện tích khu đất tính bằng hecta.
2. Nhân với 3 để có khối lượng rau thu hoạch.

**b)** Chứng minh tổng \( A = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{2021} \) chia hết cho 21.

Đây là một cấp số nhân với:

- Tổng số hạng: từ \( n = 0 \) đến \( n = 2021, a = 1, q = 4 \).

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S = \frac{a (q^n - 1)}{q - 1}
\]

Áp dụng vào bài toán:

\[
A = \frac{1(4^{2022} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{2022} - 1}{3}
\]

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{4^{2022} - 1}{3} \mod 21 = 0
\]

Sử dụng định lý Fermat và các tính toán modulo để chứng minh \( 4^{2022} - 1 \) chia hết cho cả 3 và 7.

Tóm lại, bài toán đã được giải bằng cách thiết lập các phương trình. Nếu cần thêm thông tin cụ thể, có thể đi sâu vào từng bước tính toán.