Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ ; MN < PQ). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và N trên PQ. Chứng minh: QH = CP

Để chứng minh rằng \( QH = CP \) trong hình thang cân \( MNPQ \) với \( MN \parallel PQ \) và \( MN < PQ \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Thiết lập các điểm**:
- Gọi điểm \( H \) là hình chiếu của điểm \( M \) lên đường thẳng \( PQ \).
- Gọi điểm \( K \) là hình chiếu của điểm \( N \) lên đường thẳng \( PQ \).

2. **Tính chất hình thang cân**:
- Vì hình thang \( MNPQ \) là hình thang cân và \( MN \parallel PQ \), nên hai cạnh bên \( MP \) và \( NQ \) là hai cạnh nghiêng của hình thang cân.
- Trong hình thang này, các đoạn thẳng \( MH \) và \( NK \) là các đoạn thẳng vuông góc với \( PQ \).

3. **Xét các tam giác**:
- Tam giác \( MHQ \) và tam giác \( NPK \) có hai cạnh vuông góc.
- Do đó, theo định nghĩa, ta có \( QH \) và \( CP \) là các chiều cao tương ứng từ \( M \) và \( N \) xuống \( PQ \).

4. **Độ dài các đoạn \( QH \) và \( CP \)**:
- Vì hình thang là cân mà cạnh bên \( MP = NQ \), cho nên khoảng cách từ \( M \) đến đường thẳng \( PQ \) chính là chiều cao của tam giác \( MNP \) và từ \( N \) đến \( PQ \) cũng là chiều cao của tam giác \( MNR \).
- Bởi vì đường chéo của hai tam giác vuông này là cùng một chiều cao được vẽ theo một đường thẳng song song với đáy của hình thang nên chúng có độ dài bằng nhau.

5. **Kết luận**:
- Ta có thể kết luận rằng \( QH = CP \) do cấu trúc hình học của hình thang cân.

Tóm lại, nhờ các tính chất của hình thang cân và các hình viet của các đoạn thẳng vuông góc, chúng ta đã chứng minh rằng \( QH = CP \).