Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + 9 \) với điều kiện \( x \geq -4 \), trước tiên chúng ta cần xác định giá trị của \( x \) sao cho biểu thức trong căn không âm.

Cụ thể, để \( \sqrt{x - \frac{1}{2}} \) có nghĩa, ta cần:

\[
x - \frac{1}{2} \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}
\]

Tuy nhiên, điều kiện đã cho là \( x \geq -4 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( x \) mà chúng ta cần xem xét thực ra là \( x \geq \frac{1}{2} \).

Tiếp theo, tại \( x = \frac{1}{2} \):

\[
A = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} + 9 = \sqrt{0} + 9 = 9
\]

Khi \( x \) tăng lên, giá trị của \( \sqrt{x - \frac{1}{2}} \) cũng tăng lên dẫn đến \( A \) tăng lên. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \).

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{9}
\]