Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + 9 \) với điều kiện \( x \geq -4 \), trước tiên chúng ta cần xác định miền xác định của biểu thức dưới căn.

1. **Tìm miền xác định của căn**: Để căn bậc hai có nghĩa, cần có:
\[
x - \frac{1}{2} \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}
\]

2. **Kiểm tra điều kiện**: Điều kiện của bài toán là \( x \geq -4 \). Tuy nhiên, điều kiện từ căn lại là \( x \geq \frac{1}{2} \). Do đó, miền xác định của biểu thức là:
\[
x \geq \frac{1}{2}
\]

3. **Tính giá trị \( A \)**: Tại giá trị nhỏ nhất của \( x \) thuộc miền xác định, tức \( x = \frac{1}{2} \):
\[
A = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} + 9 = \sqrt{0} + 9 = 9
\]

4. **Xét giá trị của \( A \) khi \( x \) tăng lên**: Khi giá trị của \( x \) tăng lên, \( \sqrt{x - \frac{1}{2}} \) sẽ tăng. Do đó, giá trị của \( A \) sẽ lớn hơn 9.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + 9 \) khi \( x \geq \frac{1}{2} \) là:
\[
\boxed{9}
\]