Chứng minh AM = BN; từ đó chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi

Để chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**Bước 1: Chứng minh AM = BN**

Trước tiên, ta có triangle ABC vuông tại A. Theo giả thiết, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Trong trường hợp này, AM và BN là các đoạn thẳng nối từ các trung điểm đến các đỉnh của tam giác.

Ta sẽ sử dụng định lý trung bình của tam giác: nếu M là trung điểm của cạnh BC và N là trung điểm của cạnh AB, thì:

\[
AM = \frac{1}{2}BC
\]
\[
BN = \frac{1}{2}AC
\]

Từ đó, do AM = AN = BN, nên ta có:

\[
AM = BN
\]

**Bước 2: Chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi**

Trong tứ giác AMBP, chúng ta đã chứng minh được AM = BN. Tiếp theo, để chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi, cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:

- Cặp cạnh AB và MP
- Cặp cạnh AM và BP

Trước hết, ta có:

\[
AB = PM
\]
\[
AM = BN
\]

Khi đó, tứ giác AMBP có:

- Cặp AM = BP
- Cặp AB = PM

Từ đó, với 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau, ta kết luận tứ giác AMBP là hình thoi.

**Kết luận:**

Tứ giác AMBP thỏa mãn điều kiện của hình thoi. Chúng ta đã chứng minh được rằng AM = BN và đã chỉ ra rằng các cặp cạnh còn lại cũng bằng nhau. Do đó, tứ giác AMBP là một hình thoi.