Tìm giá trị nhỏ nhất \( F_{min} \) của biểu thức \( F(x,y) = 4x + 3y \) trên miền xác định bởi hệ: \[ \begin{cases} 0 \leq x \leq 10 \\ 0 \leq y \leq 9 \\ 2x + y \geq 14 \\ 2x + 5y \geq 30 \end{cases} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất \( F_{min} \) của biểu thức \( F(x,y) = 4x + 3y \) trên miền xác định bởi hệ bất phương trình, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Vẽ miền xác định**:
- Bất phương trình \( 0 \leq x \leq 10 \) và \( 0 \leq y \leq 9 \) xác định một hình chữ nhật có các đỉnh tại \( (0,0), (10,0), (10,9), (0,9) \).
- Bất phương trình \( 2x + y \geq 14 \) có thể viết lại thành \( y \geq 14 - 2x \). Đường thẳng \( y = 14 - 2x \) sẽ cắt trục \( y \) tại \( (0,14) \) và trục \( x \) tại \( (7,0) \).
- Bất phương trình \( 2x + 5y \geq 30 \) có thể viết lại thành \( y \geq 6 - \frac{2}{5}x \). Đường thẳng \( y = 6 - \frac{2}{5}x \) sẽ cắt trục \( y \) tại \( (0,6) \) và cắt trục \( x \) tại \( (15,0) \).

2. **Tìm các điểm giao nhau**:
- Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = 14 - 2x \\
y = 6 - \frac{2}{5}x
\end{cases}
\]
Thay \( y \) của phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
\[
14 - 2x = 6 - \frac{2}{5}x \Rightarrow 8 = 2x - \frac{2}{5}x
\]
\[
8 = \frac{10x - 2x}{5} \Rightarrow 40 = 8x \Rightarrow x = 5
\]
Thay \( x = 5 \) vào \( y = 14 - 2x \):
\[
y = 14 - 10 = 4
\]
Vậy điểm giao nhau là \( (5,4) \).

- Giải hệ khác:
\[
\begin{cases}
y = 6 - \frac{2}{5}x \\
y = 14 - 2x
\end{cases}
\]
Thay vào:
\[
6 - \frac{2}{5}x = 14 - 2x
\]
\[
2x - \frac{2}{5}x = 8 \Rightarrow \frac{10x - 2x}{5} = 8 \Rightarrow 8x = 40 \Rightarrow x = 5
\]
\( y = 6 - \frac{2}{5} \cdot 5 = 6 - 2 = 4 \). (Cùng điểm \( (5,4) \)).

3. **Kiểm tra các điểm trên biên**:
- Các điểm còn lại cần kiểm tra là:
- \( (0, 6) \): \( F(0, 6) = 18 \)
- \( (0, 9) \): Không thỏa mãn bất phương trình.
- \( (10, 0) \): Không thỏa mãn.
- \( (7, 0) \): Không thỏa mãn.
- \( (10, 9) \): Không thỏa mãn.

4. **Tính giá trị**:
- Điểm \( (5, 4) \): \( F(5, 4) = 4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 20 + 12 = 32 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất \( F_{min} \) của biểu thức \( F(x,y) \) trên miền xác định là \( \boxed{32} \).