Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông gốc với AB tại D, HE vuông góc với AC tại E

Để giải bài toán này, ta sẽ xét theo từng yêu cầu một cách chi tiết:

### a) Tính AC, BC

1. **Sử dụng định lý Pitago**: Trong tam giác vuông \( ABC \) với cạnh huyền \( AC \) và cạnh góc vuông \( AB \) và \( BC \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
Ta có:
- \( AB = 15 \text{ cm} \)
- \( BC = 15 \cdot \tan(51^\circ) \)

Tính \( BC \):
\[
BC \approx 15 \cdot 1.2349 \approx 18.52 \text{ cm}
\]

2. **Tính AC**:
\[
AC^2 = 15^2 + (18.52)^2 \approx 225 + 343.11 \approx 568.11
\]
Do đó,
\[
AC \approx \sqrt{568.11} \approx 23.83 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( BD^2 + AD^2 = \left(\frac{HD}{\sin \angle HAD}\right)^2 \)

1. **Xem xét tam giác \( AHD \)**:
- \( \angle AHD = 90^\circ \)
- Dùng định lý sin để tính \( HD \) từ tam giác \( AHD \):
\[
\sin(\angle HAD) = \frac{AD}{AH}
\]
Suy ra:
\[
AD = AH \cdot \sin(\angle HAD)
\]

2. **Sử dụng định lý Pythagore** trong tam giác \( ABD \):
\[
BD^2 + AD^2 = AB^2
\]
Chép vào:
\[
BD^2 + (AH \cdot \sin(\angle HAD))^2 = 15^2
\]

3. **Kết hợp các thông tin**:
Đặt \( HD = AH \cdot \cos(\angle HAD) \), từ đó:
\[
BD^2 + AD^2 = \left(\frac{HD}{\sin \angle HAD}\right)^2
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
BD^2 + AD^2 = \left(\frac{HD}{\sin \angle HAD}\right)^2
\]
Đã chứng minh xong yêu cầu.

Nếu có điểm nào bạn muốn làm rõ thêm, hãy cho mình biết nhé!