Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ điều kiện đã cho:

Giả sử \( 5a + 4b \equiv 0 \mod{19} \). Từ đó, ta có:

\[
5a + 4b \equiv 0 \mod{19} \quad (1)
\]

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh rằng:

\[
17a + 6b \equiv 0 \mod{19} \quad (2)
\]

Đầu tiên, từ (1), chúng ta có thể biến đổi để tìm \( b \):

\[
4b \equiv -5a \mod{19}
\]

Tiếp theo, chúng ta nhân cả hai vế của phương trình trên với \( 5^{-1} \mod{19} \). Để tìm \( 5^{-1} \) trong modulo 19, chúng ta cần tìm số mà khi nhân với 5 sẽ cho ra 1 trong modulo 19.

Ta có thể thử các số:

- \( 5 \times 1 \equiv 5 \)
- \( 5 \times 2 \equiv 10 \)
- \( 5 \times 3 \equiv 15 \)
- \( 5 \times 4 \equiv 20 \equiv 1 \mod{19} \)

Vậy \( 5^{-1} \equiv 4 \mod{19} \).

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với \( 4 \):

\[
b \equiv -4 \cdot 5a \mod{19}
\]
\[
b \equiv -20a \equiv -1a \equiv 18a \mod{19}
\]

Bây giờ, chúng ta có biểu thức của \( b \):

\[
b \equiv 18a \mod{19}
\]

Giờ chúng ta linh hoạt sử dụng \( b \equiv 18a \) vào biểu thức cần chứng minh (2):

\[
17a + 6b \equiv 17a + 6(18a) \mod{19}
\]
\[
\equiv 17a + 108a \mod{19}
\]
\[
\equiv 17a + 13a \mod{19} \quad (\text{vì } 108 \mod{19} = 13)
\]
\[
\equiv 30a \mod{19}
\]
\[
\equiv 11a \mod{19} \quad (\text{vì } 30 \mod{19} = 11)
\]

Cuối cùng, để biểu thức \( 17a + 6b \) chia hết cho 19, \( 11a \equiv 0 \mod{19} \) phải xảy ra với \( a \equiv 0 \mod{19} \) (hoặc khi \( a \) bằng 19 hoặc bội số của 19).

Với điều kiện \( a \), ta thấy nếu \( a \) là một bội số của 19, thì \( 17a + 6b \) sẽ đúng và chia hết cho 19.

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( 5a + 4b \equiv 0 \mod{19} \), thì \( 17a + 6b \equiv 0 \mod{19} \).