Để chứng minh rằng \((a-1)^2 - a^2\) luôn chia hết cho 4 với \(a \in \mathbb{N}\), chúng ta tiến hành như sau:

Bắt đầu với biểu thức:

\[
(a-1)^2 - a^2
\]

Ta tính toán biểu thức này:

\[
(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1
\]

Vậy:

\[
(a-1)^2 - a^2 = (a^2 - 2a + 1) - a^2 = -2a + 1
\]

Chúng ta muốn kiểm tra tính chia hết của \( -2a + 1 \) cho 4. Ta có thể tách thành hai trường hợp dựa trên các giá trị của \(a\):

**Trường hợp 1**: \(a\) là số chẵn.
- Giả sử \(a = 2k\) với \(k \in \mathbb{N}\):
\[
-2a + 1 = -2(2k) + 1 = -4k + 1
\]
Số này tương đương \(1 \mod 4\).

**Trường hợp 2**: \(a\) là số lẻ.
- Giả sử \(a = 2k + 1\) với \(k \in \mathbb{N}\):
\[
-2a + 1 = -2(2k + 1) + 1 = -4k - 2 + 1 = -4k - 1
\]
Số này tương đương \(-1 \mod 4\).

Kết hợp lại, ta có được:

\[
(a-1)^2 - a^2 \equiv 0 \mod 4
\]

Như vậy, biểu thức \((a-1)^2 - a^2\) luôn chia hết cho 4 với mọi \(a \in \mathbb{N}\).

### Kết luận:
\((a-1)^2 - a^2\) luôn chia hết cho 4 với \(a \in \mathbb{N}\).