Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x,y) = x - 2y \), với điều kiện \[ \begin{cases} 0 \leq y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ x - y \leq 2 \end{cases} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x,y) = x - 2y \) dưới điều kiện đã cho, chúng ta cần xác định miền khả thi của hệ bất phương trình. Các điều kiện được biểu diễn như sau:

1. \( 0 \leq y \leq 5 \)
2. \( x \geq 0 \)
3. \( x + y - 2 \geq 0 \) (hay \( x + y \geq 2 \))
4. \( x - y \leq 2 \) (hay \( x \leq y + 2 \))

### Bước 1: Vẽ miền khả thi

Chúng ta sẽ vẽ các đường biên để xác định miền khả thi trong tọa độ \( (x,y) \):

- **Đường 1:** \( y = 0 \) (trục x)
- **Đường 2:** \( y = 5 \) (hàng ngang tại \( y = 5 \))
- **Đường 3:** \( x = 0 \) (trục y)
- **Đường 4:** \( x + y = 2 \) (đường đi qua \( (2,0) \) và \( (0,2) \))
- **Đường 5:** \( x = y + 2 \) (đường đi qua \( (2,0) \) và \( (0, -2) \), nhưng chỉ tính phần trên trục y với \( y \geq 0 \))

### Bước 2: Tìm các giao điểm

Chúng ta sẽ tìm các giao điểm của các đường biên để xác định các đỉnh của miền khả thi:

1. **Giao giữa \( x + y = 2 \) và \( x = 0 \):**
\[
y = 2 \quad (0, 2)
\]

2. **Giao giữa \( x + y = 2 \) và \( y = 0 \):**
\[
x = 2 \quad (2, 0)
\]

3. **Giao giữa \( x + y = 2 \) và \( y = 5 \) không hợp lệ vì không thoả mãn \( x \geq 0 \).**

4. **Giao giữa \( x = y + 2 \) và \( y = 0 \):**
\[
x = 2 \quad (2, 0)
\]

5. **Giao giữa \( x = y + 2 \) và \( y = 5 \):**
\[
x = 7 \quad (7, 5)
\]

6. **Giao giữa \( x = y + 2 \) và tập hợp \( x + y = 2 \):**
\[
y + 2 + y = 2 \implies 2y = 0 \implies y = 0 \implies x = 2
\]
Giao điểm này là \( (2, 0) \) (trùng).

### Bước 3: Tính giá trị \( F(x,y) \)

Chúng ta cần đánh giá \( F(x,y) \) tại các điểm đã tìm được:

1. Tại \( (0, 2) \):
\[
F(0, 2) = 0 - 2 \times 2 = -4
\]

2. Tại \( (2, 0) \):
\[
F(2, 0) = 2 - 2 \times 0 = 2
\]

3. Tại \( (7, 5) \):
\[
F(7, 5) = 7 - 2 \times 5 = -3
\]

### Kết luận

Sau khi tính toán các giá trị, ta thấy giá trị nhỏ nhất của \( F(x,y) \) là
\[
\text{Giá trị nhỏ nhất } = -4
\]
Tuy nhiên, giá trị nhỏ nhất trên miền khả thi là
\[
\boxed{-4}.
\]