Để tính diện tích tam giác \( DEB \), trước tiên ta cần xác định vị trí các điểm trong hình chữ nhật \( ABCD \) với \( A(0, 0) \), \( B(10, 0) \), \( C(10, 6) \), và \( D(0, 6) \).

Tam giác \( ABE \) vuông cân tại \( E \) (tức là \( AE = BE \)). Gọi độ dài cạnh của tam giác vuông cân này là \( x \). Khi đó:

- \( AE = BE = x \)
- Điểm \( E \) sẽ ở tọa độ \( (0, x) \).

Vì \( E \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \) kéo dài nên \( BE \) sẽ tạo thành tam giác vuông tại \( E \).

Bây giờ, ta cần tính diện tích của tam giác \( DEB \) với các đỉnh \( D(0,6) \), \( E(0,x) \), và \( B(10,0) \).

Diện tích của tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
\]

Trong đó:
- \( (x_1, y_1) = (0, 6) \)
- \( (x_2, y_2) = (0, x) \)
- \( (x_3, y_3) = (10, 0) \)

Áp dụng vào công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times |0(x - 0) + 0(0 - 6) + 10(6 - x)|
\]
\[
= \frac{1}{2} \times |0 + 0 + 10(6 - x)|
\]
\[
= \frac{1}{2} \times 10 |6 - x|
\]
\[
= 5 |6 - x|
\]

Ta vẫn chưa có giá trị cụ thể cho \( x \). Tuy nhiên, xét tam giác vuông cân \( ABE \), ta có thể tìm \( x \):
- Vì \( A(0,0) \) và \( B(10,0) \), nên độ dài đoạn \( AB = 10 \).
- Ta cần \( AE + BE = 10 \), tức là \( 2x = 10 \Rightarrow x = 5 \).

Thay \( x = 5 \) vào công thức diện tích:

\[
S = 5 |6 - 5| = 5 \times 1 = 5 \text{ cm}^2.
\]

Vậy diện tích của tam giác \( DEB \) là \( 5 \) cm².