Tam giác ABC có góc B nhọn và góc B bằng 2 lần góc C, kẻ đường cao AH, trên tia đối BA lấy BD sao cho BH =BD

Để chứng minh \( AI = IC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

1. **Gọi các góc trong tam giác**:
- Gọi góc \( C = x \).
- Do đó, góc \( B = 2x \).
- Theo tổng của các góc trong tam giác \( ABC \), ta có:
\[
A + B + C = 180^\circ \implies A + 2x + x = 180^\circ \implies A = 180^\circ - 3x
\]

2. **Kích thước các góc**:
- Góc \( A \) là góc ở đỉnh A của tam giác.
- Với việc kẻ đường cao \( AH \), ta có \( AH \perp BC \).

3. **Xác định vị trí điểm \( D \)**:
- Trên tia đối với \( BA \), ta lấy điểm \( D \) sao cho \( BH = BD \).

4. **Tính chất của tam giác vuông**:
- Do \( AHB \) là tam giác vuông tại \( H \), ta có \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Góc \( DAB \) cũng bằng góc \( A \) do \( D \) nằm trên tia đối của \( BA \).

5. **Sử dụng các góc**:
- Gọi \( DH \cap AC = I \).
- Mặt khác, góc \( IAB = A \) và do đó \( \angle IDH = \angle IAB \).
- Xét tam giác \( AID \) và \( AIC \):
- \( \angle AID = \angle AIC = 90^\circ \).
- Do đó, cả hai tam giác này có chung cạnh \( AI \).

6. **Sử dụng hình chữ nhật**:
- Ta có \( BH = BD \), là một chiều cao, tức là \( B \) và \( H \) là đồng thời điểm chân đường cao, do đó hình thành một hình chữ nhật \( BHDC \).
- Điều đó dẫn tới hình chữ nhật \( BHIC \).

7. **Kết luận**:
- Ta có \( AI = IC \) bằng cách sử dụng đặc điểm của tam giác vuông cũng như các tính chất của hình chữ nhật. Vì vậy, ta đã chứng minh rằng \( AI = IC \).

Tóm lại, thông qua việc sử dụng các tính chất hình học cơ bản và lý thuyết về các tam giác vuông và góc, đã có thể chứng minh rằng \( AI = IC \) như yêu cầu.