Cho ΔABC có ∠A = 90°, AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Các tia phần giác của góc C và BAH cắt nhau ở I. Chứng minh rằng góc AIC = 90°

Để chứng minh rằng góc \( \angle AIC = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các góc.

1. **Kí hiệu các góc**:
- Gọi \( \angle CAB = \alpha \) và \( \angle ABC = \beta \). Do \( \triangle ABC \) là tam giác vuông ở \( A \), ta có \( \alpha + \beta = 90^\circ \).

2. **Xét góc \( \angle BAH \)**:
- Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên \( \angle BAH = 90^\circ - \beta \) (do tổng 3 góc trong tam giác \( AHB \) bằng \( 180^\circ \)).

3. **Phân giác của góc \( \angle BAH \)**:
- Gọi tia phân giác của \( \angle BAH \) cắt nối tiếp \( AH \) tại \( I \). Từ tính chất của phân giác, ta có:
\[
\angle BAI = \frac{1}{2}(90^\circ - \beta) = 45^\circ - \frac{\beta}{2}
\]
- Gọi \( \angle ACB = 90^\circ - \alpha \) (do tam giác vuông).

4. **Xét góc \( \angle CAI \)**:
- Từ tính chất của tam giác, ta cũng có \( \angle CAI = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2}(90^\circ - \alpha) = 45^\circ - \frac{\alpha}{2} \).

5. **Tính góc \( \angle AIC \)**:
- Ta có:
\[
\angle AIC = \angle BAI + \angle CAI = \left( 45^\circ - \frac{\beta}{2} \right) + \left( 45^\circ - \frac{\alpha}{2} \right) = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}
\]
- Như đã biết, \( \alpha + \beta = 90^\circ \), do đó:
\[
\angle AIC = 90^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 90^\circ
\]

Kết luận: \( \angle AIC = 90^\circ \) như yêu cầu cần chứng minh.