Để giải phương trình \(3 \cdot 4^x + 4^{x+2} = 1216\), trước tiên ta có thể viết lại \(4^{x+2}\) dưới dạng \(4^x\):

\[
4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 4^x \cdot 16
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
3 \cdot 4^x + 16 \cdot 4^x = 1216
\]

Gộp các hạng tử lại, ta được:

\[
(3 + 16) \cdot 4^x = 1216
\]
\[
19 \cdot 4^x = 1216
\]

Tiếp theo, chia cả hai vế cho 19:

\[
4^x = \frac{1216}{19}
\]

Tính giá trị bên phải:

\[
\frac{1216}{19} = 64
\]

Vậy ta có:

\[
4^x = 64
\]

Biểu diễn 64 dưới dạng số mũ của 4:

\[
64 = 4^3
\]

Do đó:

\[
4^x = 4^3
\]

Suy ra:

\[
x = 3
\]

Cuối cùng, ta tìm giá trị cần tìm là \(x^3\):

\[
x^3 = 3^3 = 27
\]

Vì vậy, kết quả là:

\[
\boxed{27}
\]