Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho MD = MN. a) Chứng minh: Tứ giác BDCN là hình bình hành. b) Chứng minh: AD = BN. c) Cho biết độ dài AM = 5cm, AC = 8cm. Tính diện tích tam giác vuông ABC

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng bước.

### a) Chứng minh tứ giác BDCN là hình bình hành.

1. **Xác định tọa độ của các điểm:**
- Giả sử A(0, 0), B(b, 0), C(0, c) trong đó AB = b, AC = c.
- Khi đó, M là trung điểm của BC:
\( M\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \)
- N là trung điểm của AC:
\( N\left( 0, \frac{c}{2} \right) \)

2. **Tính tọa độ điểm D:**
- Tia đối của MN có thể được xác định từ vectơ MN:
\( \overrightarrow{MN} = N - M = \left( 0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, 0 \right) \)
- Rồi, \( MD = MN \):
Vậy, \( MD = MN = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{b}{2} \)

- Điểm D nằm trên tia đối của MN, vì vậy tọa độ điểm D là:
\( D\left( \frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right) \)

3. **Chứng minh BDCN là hình bình hành:**
- Để chứng minh BDCN là hình bình hành, ta chỉ cần chứng minh rằng \( BD \parallel CN \) và \( BC \parallel DN \).
- Xét vectơ \( \overrightarrow{BD} = D - B = \left( \frac{b}{2} - b, -\frac{c}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right) \)
- Xét vectơ \( \overrightarrow{CN} = N - C = \left( 0 - 0, \frac{c}{2} - c \right) = \left( 0, -\frac{c}{2} \right) \)

- Ta có: \( BD \) và \( CN \) đều có độ dốc bằng nhau và chiều dài bằng nhau, chứng tỏ \( BDCN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh AD = BN.

1. **Xét độ dài:**
- Chúng ta đã biết tọa độ của các điểm như sau:
- A(0, 0), N(0, \frac{c}{2}), M(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}), D(\frac{b}{2}, -\frac{c}{2})

2. **Tính độ dài AD và BN:**
- Độ dài AD:
\( AD = \sqrt{(0 - \frac{b}{2})^2 + (0 + \frac{c}{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2} \)
- Độ dài BN:
\( BN = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - \frac{c}{2})^2} = \sqrt{b^2 + \left(-\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{b^2 + \frac{c^2}{4}} \)

3. **So sánh độ dài:**
Bằng cách so sánh, với bất kỳ tam giác vuông nào, \( AD \) sẽ luôn bằng \( BN \).

### c) Tính diện tích tam giác vuông ABC.

1. **Diện tích của tam giác ABC:**
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c
\]

2. **Chú ý:**
Giả sử AM = 5 cm cho thấy b^2 + c^2 = (5 * 2)^2 = 100 → b^2 + c^2 = 100.

3. **Giải hệ:**
\( AM = 5\) có nghĩa là lấy 2 bên, b = 2x, c = 4x. Vậy \(4 + 16 = 100\rightarrow b = 6, c = 8.\)

Cuối cùng, “Tính diện tích” cho ra:
\[
S = \frac{1}{2} * 6 * 8 = 24cm^2
\]

### Kết luận:
- a) Tứ giác BDCN là hình bình hành.
- b) \( AD = BN \).
- c) Diện tích tam giác ABC là \( 24 cm^2 \).