Cho hai vật dao động điều hòa theo phương trình lần lượt là \( x_1(t) = 8 \cos(4 \pi t + \frac{\pi}{2}) \) (cm) và \( x_2(t) = -8 \cos(4 \pi t) \) (cm), trong đó \( x_1(t), x_2(t) \) là li độ của hai vật tại thời điểm t (giây). Khi hai vật dao động trong thời gian từ 0 đến 10 giây, hỏi chúng có cùng li độ mấy lần

Để tìm số lần hai vật có cùng li độ trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, ta cần so sánh hai phương trình dao động:

\[
x_1(t) = 8 \cos(4 \pi t + \frac{\pi}{2})
\]

\[
x_2(t) = -8 \cos(4 \pi t)
\]

### Bước 1: Đơn giản hóa phương trình

Ta biết rằng:

\[
\cos\left(a + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(a)
\]

Vậy, có thể viết lại \(x_1(t)\) như sau:

\[
x_1(t) = 8 \cos(4 \pi t + \frac{\pi}{2}) = -8 \sin(4 \pi t)
\]

### Bước 2: Thiết lập điều kiện để có cùng li độ

Khung a là:

\[
-8 \sin(4 \pi t) = -8 \cos(4 \pi t)
\]

Rút gọn:

\[
\sin(4 \pi t) = \cos(4 \pi t)
\]

### Bước 3: Xác định phương trình

Ta biết từ các tính chất về sin và cos, điều này xảy ra khi:

\[
\tan(4 \pi t) = 1
\]

### Bước 4: Giải phương trình

Điều này có nghĩa là:

\[
4 \pi t = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải cho \(t\):

\[
t = \frac{1}{16} + \frac{k}{4}
\]

### Bước 5: Tìm giá trị \(k\) trong khoảng từ 0 đến 10

- Khi \(k = 0\): \(t = \frac{1}{16} = 0.0625\)
- Khi \(k = 1\): \(t = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} = 0.3125\)
- Khi \(k = 2\): \(t = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = \frac{9}{16} = 0.5625\)
- Khi \(k = 3\): \(t = \frac{1}{16} + \frac{3}{4} = \frac{13}{16} = 0.8125\)
- Khi \(k = 4\): \(t = \frac{1}{16} + 1 = \frac{17}{16} = 1.0625\)

Tiếp tục với các giá trị \(k\):

- \(k = 5\): \(t = \frac{21}{16} = 1.3125\)
- \(k = 6\): \(t = \frac{25}{16} = 1.5625\)
- \(k = 7\): \(t = \frac{29}{16} = 1.8125\)
- \(k = 8\): \(t = \frac{33}{16} = 2.0625\)
- \(k = 9\): \(t = \frac{37}{16} = 2.3125\)
- ...
- Cứ thế cho tới khi \(t \leq 10\).

### Bước 6: Đếm số lần

Mỗi \(k\) tăng lên 1 sẽ tăng thêm 0.25 giây lên \(t\). Để tìm \(k\) tối đa:

\[
\frac{1}{16} + \frac{k}{4} \leq 10 \quad \Rightarrow \quad k \leq 39.75 \quad \Rightarrow \quad k_{\text{max}} = 39
\]

### Kết luận

Tính số lần tổng cộng với các giá trị từ \(k = 0\) đến \(k = 39\):

- Tổng số lần = \(k_{\text{max}} + 1 = 39 + 1 = 40\).

Vậy, hai vật có cùng li độ **40 lần** trong khoảng thời gian 0 đến 10 giây.