Cho ∆ABC. Tìm quý tích M: \(|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}| = 12\)

Cho ∆ABC và điểm M. Ta có:

\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + 4(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M})
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 4\overrightarrow{C}) - (1 + 1 + 4)\overrightarrow{M}
\]

\[
= (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 4\overrightarrow{C}) - 6\overrightarrow{M}
\]

Gọi \(\overrightarrow{G} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 4\overrightarrow{C}\). Khi đó:

\[
|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}| = |G - 6\overrightarrow{M}|
\]

Đặt \(\overrightarrow{M} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{N}\), từ đó ta có:

\[
|G - 6(\overrightarrow{G} - \overrightarrow{N})| = |7\overrightarrow{G} - 6\overrightarrow{N}|
\]

Đặt \(|N| = r\), ta có:

\[
|7\overrightarrow{G} - 6\overrightarrow{N}| = 12
\]

Áp dụng định lý về độ dài:

\[
|7\overrightarrow{G}| + |6\overrightarrow{N}| = 12
\]

Giải phương trình này với \(M\) sẽ cho ra quý tích \(M\) mà ta cần tìm. Tính \(M\) sao cho phương trình trên thỏa mãn sẽ giúp tìm được giá trị cần thiết.