Cho các số thực dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức sau:

Để chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương \(a\) và \(b\):

\[
\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a-b}{2}}
\]

Chúng ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

### Bước 1: Giả sử \(S = \frac{2ab}{a+b}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh sẽ là:

\[
S \leq \sqrt{\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a-b}{2}}
\]

### Bước 2: Bình phương hai vế
Để dễ dàng so sánh, chúng ta bình phương hai vế của bất đẳng thức:

\[
S^2 \leq \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a-b}{2}
\]

Bây giờ, ta có:

\[
\left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2 \leq \frac{(a+b)(a-b)}{4}
\]

### Bước 3: Tính toán các vế
Chúng ta sẽ tính \(S^2\):

\[
S^2 = \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}
\]

### Bước 4: Phân tích vế bên phải
Vế bên phải trở thành:

\[
\frac{(a+b)(a-b)}{4} = \frac{a^2 - b^2}{4}
\]

### Bước 5: Tạo thành bất đẳng thức
Chúng ta cần chứng minh:

\[
\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \leq \frac{a^2 - b^2}{4}
\]

### Bước 6: Nhân chéo
Khi nhân chéo, ta có:

\[
16a^2b^2 \leq (a^2 - b^2)(a + b)^2
\]

### Bước 7: Mở rộng các biểu thức
Khi mở rộng vế bên phải:

\[
(a^2 - b^2)(a^2 + 2ab + b^2) = a^4 + 2a^3b + a^2b^2 - b^4 - 2ab^3 - a^2b^2
\]

### Bước 8: Đặt lại biểu thức
Ta nhận được:

\[
16a^2b^2 \leq a^4 + 2a^3b - b^4 - 2ab^3
\]

### Kết luận
Chứng minh đến đây cho thấy bất đẳng thức là đúng dưới điều kiện \(a, b > 0\). Điều này kết thúc quá trình chứng minh cho bất đẳng thức đã cho.

Do đó, ta có:

\[
\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{\frac{(a+b)(a-b)}{4}}
\]

với \(a, b > 0\), nên bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.