Tìm các số x, y nguyên biết: x(x-1)(x-7)(x-8) = y2

Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình

\[
x(x-1)(x-7)(x-8) = y^2,
\]

ta sẽ phân tích bên trái của phương trình. Biểu thức \( x(x-1)(x-7)(x-8) \) có dạng tích của 4 số liên tiếp (2 cặp số).

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức đó như sau:

- Gọi \( f(x) = x(x-1)(x-7)(x-8) \).
- Chúng ta cần tìm giá trị của \( f(x) \) sao cho nó là một số chính phương (tức là có dạng \( y^2 \)).

### Phân tích giá trị của \( f(x) \)

1. **Tính giá trị cho một số nguyên \( x \):**

- Khi \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0 \cdot (-1) \cdot (-7) \cdot (-8) = 0 \Rightarrow y = 0.
\]

- Khi \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1 \cdot 0 \cdot (-6) \cdot (-7) = 0 \Rightarrow y = 0.
\]

- Khi \( x = 7 \):
\[
f(7) = 7 \cdot 6 \cdot 0 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow y = 0.
\]

- Khi \( x = 8 \):
\[
f(8) = 8 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \Rightarrow y = 0.
\]

2. **Tính cho các số nguyên âm và dương nhỏ:**

- Khi \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2 \cdot 1 \cdot (-5) \cdot (-6) = 60 \Rightarrow y = 6 \quad (60 = 6^2).
\]
- Khi \( x = 3 \):
\[
f(3) = 3 \cdot 2 \cdot (-4) \cdot (-5) = 120 \Rightarrow y = 10 \quad (120 \text{ không phải là chính phương}).
\]
- Khi \( x = 4 \):
\[
f(4) = 4 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot (-4) = 144 \Rightarrow y = 12 \quad (144 = 12^2).
\]
- Khi \( x = 5 \):
\[
f(5) = 5 \cdot 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 120 \Rightarrow y = 10 \quad (120 \text{ không phải là chính phương}).
\]
- Khi \( x = 6 \):
\[
f(6) = 6 \cdot 5 \cdot (-1) \cdot (-2) = 60 \Rightarrow y = 6 \quad (60 \text{ không phải là chính phương}).
\]

3. **Giá trị cho các số nguyên âm:**
- Nếu \( x = -1 \) tới \( -5 \) ta tính và tìm ra các giá trị tương tự cũng không cho ra các kết quả là chính phương.

4. **Các giá trị thỏa mãn:**

- Sau khi kiểm tra, các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:
- \( (0, 0) \)
- \( (1, 0) \)
- \( (7, 0) \)
- \( (8, 0) \)
- \( (2, 6) \)
- \( (4, 12) \)

### Kết luận

Các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình \( x(x-1)(x-7)(x-8) = y^2 \) là:

- \( (0, 0) \)
- \( (1, 0) \)
- \( (7, 0) \)
- \( (8, 0) \)
- \( (2, 6) \)
- \( (4, 12) \)

Cảm ơn bạn đã đặt câu hỏi!